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Matemáticas de pizarra

viernes, 25 de noviembre de 2022

Problemas de Selectividad de Andalucía


Ahora que se acercan las PAU, para siempre "Selectividad", en el siguiente enlace podemos encontrar dos archivos PDF. Uno con todos los problemas PAU de Andalucía de la asignatura MCSII (Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de segundo de bachillerato) desde 1999, así como unos cuantos de Madrid  (más de 1200 ejercicios), así como TODOS los problemas de la opción de MAT II (Matemáticas II) de Andalucía desde 2001, unos 1000 ejercicios.

Lo interesante de estos archivos únicos es que los ejercicios vienen clasificados por bloques de contenidos, por lo que es fácil seleccionar problemas de matrices, de análisis... como repaso antes de la PAU de MCS II y MAT II, para que el profesorado ponga sus exámenes... Ideal para alumnado y profesorado.

Y la lista seguirá creciendo año a año...

Problemas de Selectividad de MCS II (1999-2022)

Problemas de Selectividad de MAT II (2001-2022)


sábado, 5 de noviembre de 2022

Quousque tandem abutere... (quejas de un docente orgulloso de serlo)

Quousque tandem abutere Catilina patientia nostra ?

    Soy de ciencias, pero estudié al abrigo de un gran sistema educativo y creo recordar que esa era una expresión que el incisivo Cicerón le dedicaba a todo un personaje prenda de la época llamado Catilina y que se podría traducir como "¿Hasta cuándo abusarás de nuestra paciencia, Catilina?"

    Son estos tiempos convulsos para la docencia. La Administración no deja de atosigarnos a los profesores para pedirnos la cuadratura del círculo, ahora lo explicaré, y con todos los magníficos compañeros con los que cambio impresiones la opinión es unánime... Estamos sencillamente hartos, no importamos lo más mínimo y nadie nos escucha.

    Pensé escribir estas palabras algún tipo de periódico digital, pero recordé que yo tenía una plataforma donde colgarlas, una plataforma humilde pero a fin de cuentas mía (bueno... y de Google... claro) donde poder escribir mis reflexiones, las de tantos profesores que ya estábamos hartos del planteamiento estatal en Educación y la LOMLOE y las exigencias de la Administración nos ha terminado de matar. Pido disculpas a los lectores usuales de mi blog, ya que esta entrada no va ir de fotografía, astronomía o matemáticas, sino de un docente orgulloso de serlo pero hastiado que va a desahogarse. Todas las opiniones vertidas aquí son mías y asumo mi responsabilidad por las mismas.

lunes, 29 de agosto de 2022

El seguimiento en astrofotografía II - seguimiento mediante PHD2 por ST4 y ASCOM - Solución mediante EQMOD de algunos problemas para Skywatcher AZ-EQ6

    (A continuación voy a describir cómo hacer seguimiento con PHD2 en una montura motorizada mediante ST4 y ASCOM y explicar la solución de algunos problemas que me encontré en mi montura AZ-EQ6 PRO. Esta entrada es la continuación lógica de esta otra destinada a la puesta en estación de una montura ecuatorial)

    Antes de empezar, esta entrada por supuesto la puede leer cualquiera, pero está más dirigida a aficionados avanzados que poseen una montura ecuatorial motorizada como mi AZ-EQ6 PRO, que saben conectar una cámara de fotos a un tubo, que hacen fotos de larga duración y que necesitan mejorar la precisión del guiado.

    En efecto, a pesar de que las monturas motorizadas una vez que están puestas en estación hacen un guiado muy preciso que permite hacer fotos de varios minutos en los que las estrellas aparentemente no se mueven, una montura no deja de ser una máquina que comete errores (PEC, Backslash...), y para ello nos planteamos mejorar el seguimiento mediante una cámara auxiliar y programas como PHD2

    Esta, me anticipo que va a ser otra entrada extensa porque hay que hablar del proceso de seguimiento, cámaras auxiliares, tipos de cables... También me anticipo que es una entrada apasionante porque le va a permitir dar un salto de calidad (como casi todo en este mundillo astronómico, comprando más cosas).

Dentro de las opciones que gestionan ASCOM, me centraré en el servidor EQMOD, si bien existen otras opciones como SYNSCAN APP o GS SERVER, de las que también hablaré.


viernes, 12 de agosto de 2022

2026-28 - El año y medio de los eclipses de sol desde España

(En esta entrada voy a comentar algo de los tres eclipses de sol que podremos ver desde España del 12 de agosto de 2026 al 26 de enero de 2028, y dar mapas interactivos para facilitar su observación)


12 de agosto de 2026, 2 de agosto de 2027 y 26 de enero de 2028... recuerde estas fechas.

    En realidad queda mucho tiempo, bueno... para el primero justo hoy quedan 4 años, perdone mi ansiedad... pero desde España y Andalucía vamos a ser muy afortunados en lo que los eclipses de sol se refiere. A lo largo de año y medio vamos a poder ver tres, y espectaculares los tres, dos totales y otro anular.

    No quiero enrollarme mucho en esta entrada, ya habrá tiempo de hacer otra más exhaustiva relacionada con los eclipses, su periodicidad... (en la misma partiré del texto que usé en una conferencia al aire libre que di en el Campus de Reina Mercedes de la Universidad de Sevilla el 9 de octubre de 1990 bajo el eclipse de luna que había esa noche). Ahora sólo quiero ir calentando el tema... cuatro años pasan muy rápido.

    En realidad, los eclipses solares son más frecuentes que los eclipses lunares. Es más fácil que la luna cruce por delante del sol a que la sombra de la Tierra oculte a la luna. Ahora bien, cuando hay un eclipse de luna todo un hemisferio ve a la luna, por lo que el eclipse es visible por mucha gente, mientras en un eclipse de sol sólo lo ve una privilegiada banda de la Tierra, y por ello pensamos que los solares son más escasos.

    Como digo, más adelante hablaré de los eclipses, los subtipos, los ciclos de saros y su periodicidad, los sitios X afortunados... Lo que quiero decir en esta entrada es que durante sólo un año y medio, si las circunstancias lo permiten, podremos ver tres eclipses solares desde España, que paso a describir.


12 de agosto de 2026, eclipse total

    Recuerdo la primera quincena de agosto de 1999. Me fui de viaje, solo, por Alemania, República Checa y Austria. El plato fuerte se produciría el 11 de agosto de ese mes. Iba a ver en Stuttgart mi primer eclipse solar total. Viaje memorable, pero el día D las circunstancias climatológicas no acompañaron (tenía que haberme ido a Rumanía, tenía su morbo un eclipse solar total en Transilvania y lo climatológico prometía más), en Alemania ese día el cielo estaba completamente cubierto y de hecho llovía de manera intermitente. Murphy 1 - Gonzalo 0. Pero a pesar de todo, recuerdo los dos minutos antes de la totalidad... el cielo empezó a apagarse como quien tiene un potenciómetro de la luz... fue sencillamente bestial como se hizo casi de noche en cuestión de segundos, cómo los pájaros se callaron.... Aunque no lo viera, lo viví y créame que es una experiencia bestial.

    Pues resulta que el 12 de agosto de 2026, al atardecer, podremos ver desde España un eclipse total de sol como el de 1999. La zona en la que se verá en su totalidad empezará en el norte de Siberia, continuará por el Polo Norte, Groenlandia, rozará Islandia y entrará por el Noroeste de la Península Ibérica, muriendo en el Mediterráneo tras pasar por las Baleares.


    Desde toda la España peninsular se podrá ver al menos como un eclipse parcial de un porcentaje muy alto, pero merece la pena hacer un esfuerzo e irse ese día a una zona de totalidad en la que la luna tapará completamente al sol dejando sólo visible su corona (es una maravilla que el sol sea 400 veces mayor que la Luna y que la luna esté exactamente 400 veces más cerca de la Tierra que el Sol, por lo que desde la Tierra ambos posean el mismo tamaño aparente, normalmente encajan a la perfección). Esta circunstancia no se da en ninguna otra parte del Sistema Solar.


     Puede encontrar un mapa interactivo del eclipse (usted pincha con el ratón en un punto y el mapa le dice si éste es total o no, cuándo empieza y acaba, qué altura posee el Sol sobre el horizonte...) en el siguiente enlace. Por cierto, si en Europa no cambiamos el procedimiento de los horarios de invierno y de verano, al tiempo en UT súmele dos horas... es un eclipse que sucederá por la tarde. 

    Como digo, desde cualquier parte de España será espectacular, pero si puede, acuda lo más cerca posible de la línea azul, aunque le digo que reserve alojamiento con tiempo... estos eventos traen a mucha gente.  A la hora de buscar sitio de observación, cuanto más se vaya usted al este el sol estará más bajo (en Baleares lo verán con el sol poniéndose), por lo que le convendrá elegir un sitio en el que el horizonte oeste esté lo más despejado posible, y si le es posible, cuanto más al oeste mejor, el sol estará más alto en el horizonte en la totalidad. Curiosamente (lo mismo va a pasar en el eclipse de 2028), la zona de totalidad no pasará por Madrid ni Barcelona

sábado, 30 de julio de 2022

Las perseidas y el resto de lluvias de estrellas fugaces (las olvidadas)

(En esta entrada, muy asequible para el aficionado simple, abordo el concepto de estrella fugaz y de lluvia de estrellas fugaces, en realidad lluvias de meteoros, cómo observarlas y una tabla con las fechas más importantes)   

    Me gustan las Perseidas. Me gusta todo lo que tiene que ver con la astronomía, pero es tan injusto que parezca que sólo hay una lluvia de estrellas fugaces, las Perseidas, cuando hay muchas más... y por cierto las Perseidas no son las más espectaculares. Supongo que a su popularidad ayuda que se producen en verano, a mediados de agosto cuando la gente está de vacaciones y en días en los que los medios de comunicación carecen de noticias. Pero por ejemplo las Delta Acuáridas tienen su máximo el 30 de julio, también en verano y parece que no existen, ni las Leónidas, Gemínidas, Cuadrántidas, Úrsidas, Taúridas... solo las Perseidas.  

    A hablar de las lluvias de estrellas fugaces, y sus fechas e intentar poner un poco de justicia se dedica esta entrada, que ya puestos a reivindicar, la publico en el máximo de las Delta Acuáridas. 

Una Perseida de 2021. Arriba a la derecha... Perseus, de donde parece salir

miércoles, 6 de julio de 2022

El seguimiento en astrofotografía I - Mi puesta en estación de una montura ecuatorial

 (A continuación voy a describir los principios básicos del seguimiento para una montura ecuatorial, incidiendo en el concepto de puesta en estación y dando consejos para optimizar la misma. En una segunda entrada hablaré del programa PHD2 y el auto-guiado mediante ST4 y ASCOM. Aunque en ambas entradas hablo de la montura AZ-EQ6 PRO, casi todo lo que se dice vale para cualquier montura ecuatorial).

    Hoy en día es factible comprar por no demasiado dinero monturas ecuatoriales motorizadas. Estas monturas tienen muchas ventajas, y son una pieza clave si de verdad quiere disfrutar del cielo nocturno con telescopio, ya que...

  • Una vez que están puestas en estación, esto es, una vez que están perfectamente ubicadas y conocen la hora local y a qué están apuntando, basta hacer un GOTO para dirigirse a cualquier objeto del catálogo Messier, NGC.... Usted le dice "vete a M31" y ella solita se mueve y se dirige a dicho punto del cielo.
  • No sólo eso. Una vez que encuentra dicho objeto seleccionado, la montura se mueve suavemente al mismo tiempo que el movimiento celeste y sigue a dicho objeto, esto es, el objeto no desaparece del ocular sino que sigue visible todo el tiempo, lo que permite una gran comodidad para hacer visual (mirar directamente por el ocular) o conectar una cámara al tubo para hacer fotos de un par de minutos.

    No es que es que estas monturas sean baratas, pero las hay bastante buenas que no llegan a los 1000 euros y que funcionan bastante bien. No le voy a recomendar ninguna, eso depende de su presupuesto y de qué tubo ha de cargar, pero le recomiendo que además de la conexión RJ45 para el SYNSCAN (y ASCOM) posea un puerto RJ12 para seguimiento por ST4 (todo esto lo explicaré en la segunda parte de la entrada), y en general cuanto más pesadas serán más estables. Mi AZ-EQ6 con la que estoy muy contento puede cargar unos 25 kg, claro, porque la parte principal ya pesa unos 15, lo que le da mucha estabilidad, eso sí, también cuesta cerca de 2000€.

    En esta entrada voy a explicar para qué se usan estas monturas ecuatoriales, así como los principios básicos y consejos para hacer una buena puesta en estación, igual puede usar alguno de mis trucos, y en la segunda parte de la entrada, a  cómo aumentar el tiempo en el que los objetos se pueden mantener sin moverse, o el proceso de guiado, así como a darle algunos consejos para solucionar problemas de guiado, al menos los que yo me he encontrado, pero eso será en la segunda parte.

1 - Las monturas ecuatoriales

1.1. Qué es una montura ecuatorial

    Como usted bien sabe, las estrellas del cielo norte parecen dar una vuelta alrededor de la estrella polar en dirección contraria a las agujas del reloj a lo largo de 24 horas. Algo similar sucede en el hemisferio sur, si bien no hay una estrella brillante respecto la cual el cielo parezca girar. Le muestro una foto que recoge el movimiento estelar a lo largo de 3 horas en la que efectivamente las estrellas parecen girar, de modo que a medida que nos alejamos del centro el giro es más pronunciado (a esto se le llamaba en física velocidad angular, $\omega$).

    Pero esto no es del todo así...  Ni la estrella polar es el centro de giro en el hemisferio norte celeste ni ese giro se produce en 24 horas... aunque casi. En realidad la estrella polar sólo está muy cerca del centro exacto de giro, y por otra el giro se produce en unas 23 horas y 56 minutos aproximadamente (a esto se le llama día sidéreo, más exactamente $23h\,56m\,4'0916s$). El que la estrella Polar esté tan cerca del auténtico polo norte celeste nos viene muy bien para conocer en qué dirección está el polo norte geográfico, los compañeros del sur no tienen una estrella que señale directamente el polo sur geográfico, sino que tienen que tirar de hacia dónde apuntan varias estrellas.

    Lo de esos 4 minutos de diferencia respecto las 24 horas también tiene su gracia. Esta noche el cielo nocturno a las 24:00h está de una forma, las estrellas se mueven alrededor del polo norte celeste, y mañana a las 23:56h las estrellas estarán en la misma posición que hoy a las 24.00h, por lo que mañana a las 24:00h, cuatro minutos más tarde del momento de repetición, las estrellas estarán como hoy a las 24:00h pero se habrán movido además 4 minutos. Esto es, de una noche a otra las estrellas van avanzando 4 minutos, y como $4\times 15=60$, las estrellas avanzan una hora cada quince días (véase la siguiente entrada). Ese es el motivo por el que constelaciones que comienzan a verse de madrugada acaben saliendo a medianoche o nada más anochecer, y de un día a otro las constelaciones se muevan lentamente hacia el oeste. Son sólo 4 minutos cada día, pero esos minutos son los responsables de que haya cielo de primavera, de verano, de otoño y de invierno, y que podamos ver todas las constelaciones asociadas a nuestra latitud. Si no fuera así, si el cielo diera una vuelta en justo $24\,h$, las estrellas siempre estarían en la misma posición, y sólo podríamos ver las que quedan encima del horizonte, esto es, la mitad del cielo. Todas las noches tendríamos el mismo cielo. Me encanta Orion, pero me costaría prescindir de Sagitarius o Scorpius... o viceversa. Son sólo 4 minutos, pero bien está lo que está.

lunes, 4 de julio de 2022

La paradoja de la "campana de Gabriel"

 (en esta entrada se describe la "paradoja", en realidad no lo es, del área y volumen encerrada por la función $\displaystyle\frac{1}{x}$ entre $1$ y $+\infty$ al girar alrededor del eje $OX$)

1. Presentación

    He leído varias veces que uno de los cuentos más notables de Hans Christian Andersen es el de la princesa y el guisante, y esta notoriedad se debe a su mensaje y a su brevedad. A diferencia de otras entradas del blog, ésta también va a ser breve, y por supuesto contundente.

    En realidad, el título de la entrada no es correcto... lo que voy a decir no es ninguna paradoja, sino un hecho,  pero la interpretación de la vida real que voy a hacer en el penúltimo párrafo es un resultado tan sorprendente que parece imposible. Dejémoslo en la "locura de la campana de Gabriel".

    Comencemos presentando a nuestra protagonista, la función $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, llamada "hipérbola equilátera". Es una función cónica que posee una asíntota vertical en $x=0$ (cuando $x$ se hace muy pequeña la función se hace muy grande), y asíntota horizontal cero en $+\infty$ (cuando la $x$ se hace muy grande, la función se hace muy pequeña). Para mis alumnos de bachillerato no tiene misterios.

    Tiro del programa geogebra y la represento gráficamente. Se observa que además es una función impar, $f(-x)=-f(x)$

    La idea ahora es la siguiente, me quedo con la parte que va de $1$ a $+\infty$ y la hago girar alrededor del eje $OX$, se forma un tipo de embudo muy alargado.


    En algún sitio leí que a esta figura la llamaban la campana o el cuerno de Gabriel (es coherente con estos tiempos revueltos tener algo del Apocalipsis y demás), otros que si se parece al giraldillo de Sevilla (no sé, para mí que lo que tenía el giraldillo en su brazo izquierdo era una gran pluma). También se la llama campana de Torricelli. El hecho es que tenemos una figura de revolución de tres dimensiones, y mediante el cálculo integral puedo calcular su área y su volumen.

2. Cálculo del área lateral

    El cálculo integral dice que el cálculo del área lateral que una función $f(x)$ genera al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b 2\pi f(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (me encanta que bloger admita $\LaTeX$ para poder escribir mates):

$\begin{eqnarray}A(x)&=&\int_1^{+\infty} 2\pi \frac{1}{x}\,dx=2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln x\right]_1^{+\infty}=\\&=&2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln(+\infty)-\ln(1)\right]=2\pi(+\infty-0)=2\pi(+\infty)=+\infty\end{eqnarray}$

    Es cierto que ese $\ln(+\infty)$ podríamos haberlo calculado como un límite y una integral impropia, pero el logaritmo en el infinito vale infinito, por lo que lo anterior es fácil de asumir.


3. Cálculo del volumen interno

    El cálculo integral dice que el cálculo del volumen que una función $f(x)$ encierra al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b \pi f^2(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (de nuevo cometo cierto abuso de notación no entrando en límites, pero todo es evidente) :

$\begin{eqnarray}V(x)&=&\int_1^{+\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty}=\\&=&-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{1}\right]=-\pi(0-1)=-\pi(-1)=+\pi\end{eqnarray}$


4. Conclusión

    Como decía, esta entrada iba a ser breve y contundente Pues nada, el área lateral que encierra esta figura es infinita, mientras el volumen que encierra es finito. Cuando yo estaba en C.O.U. mi profesor me lo resumió con palabras parecidas a éstas.

    Imaginemos que esta figura geométrica es una habitación cuya pared es del grosor de una línea matemática, o sea, nada. Como el volumen es finito significa que podemos llenarla de pintura, con $\pi$ litros de pintura se llena. Ahora bien, como su superficie es infinita, no hay en el universo pintura suficiente para darle una capa por fuera a esta habitación. Por dentro se llena, por fuera no le damos una capa, y la diferencia es el grosor de una línea que vale cero.

Sorprendente ¿verdad? Y no es una paradoja, sino un hecho.... "la locura de la campana de Gabriel".



AMPLIACIÓN. 

Estaba hoy mismo reflexionando sobre la entrada ya publicada y me di cuenta de que los resultados de las integrales no son tan extraños (los de la conclusión siguen siendo una locura), ya que recordé del primer curso de carrera de Matemáticas en la universidad de Sevilla, que la llamada serie armónica tenía una suma divergente:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots=+\infty$$

Ello parece estar relacionado con que  $\displaystyle 2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty$

Sin embargo, la serie de los inversos de los cuadrados ya es convergente, y se cumple

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

Por lo que también parece más fácil de asumir que  $\displaystyle\pi^2\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi$




lunes, 14 de marzo de 2022

Los problemas al enfocar reflectores; el intrafoco y el extrafoco

(Aquí hablaré de los problemas extremos al enfocar, el intra-foco y el extra-foco, pasando por los correctores de coma o las utilísimas máscaras de Bathinov)

Para empezar, aunque me centro en los telescopios reflectores, muchas de las cosas que voy a contar (excepto algunas imágenes como la siguiente) valen para todo tipo de tubos. Comencemos.

   La distancia focal de un telescopio es la distancia que recorre la luz a lo largo de su plano focal desde que empieza a pasar por espejos o lentes hasta hacer foco. En la imagen siguiente, en un telescopio reflector la distancia focal es la distancia marcada en línea discontinua verde, esto es, desde que la luz incide en el espejo primario (de ahí el nombre de primario, porque es el primer lugar donde incide), pasa por el secundario y hace foco.



    Los telescopios reflectores son unos tubos de focal intermedia, alrededor de $1000\; mm$. En los reflectores, a mayor focal, el foco se produce más lejos del espejo secundario, y a menor focal más cerca. Lo habitual es que el foco se produzca dentro del portaocular o carril de enfocado a no mucha distancia de la salida del mismo, ya que éste es el que ha de sujetar el ocular o el sensor de la cámara de fotos y dicha pieza debe de quedar sujeta, por lo que el punto de foco ha de quedar dentro de dicho portaocular o no podríamos sujetar el ocular... 
    El punto de foco siempre se produce (que puede ser mejor o peor según el colimado del sistema), y en el portaocular tendremos una rueda que tiene por misión mover el mismo y todo lo que esté sujeto por éste más lejos o cerca del espejo primario, para que el ocular o el sensor de la cámara de fotos coincidan con el punto de foco y todo vaya bien.
    En la siguiente imagen muestro dicho sistema; por ejemplo una cámara de fotos con un sensor fotográfico donde ha de producirse el enfoque se fija a dicho carril de enfocado mediante un par de tornillos. Al moverse dicho carril lo que se busca es que el sensor de la cámara coincida con el foco del telescopio, esa es la posición óptima para fotografiar. Es importante decir que el carril de enfocado no tiene un recorrido infinito; tal como se sugiere en la imagen siguiente se mueve entre dos posiciones extremas, una posición más cercana y otra más lejana al espejo secundario.


       Pues bien, normalmente con el recorrido del portaocular debería vale valer para poder enfocar adecuadamente, pero según las condiciones, podríamos encontrarnos con dos problemas extremos que no se deben a que no sepamos hacerlo, sino a que el tren óptico no nos deje; los problema de INTRA-FOCO y del EXTRA-FOCO.

jueves, 14 de octubre de 2021

Los números esquizofrénicos

    Dentro de los números reales hay dos grandes familias, la de los números racionales y la de los números irracionales. En realidad, la de los números racionales es ínfima en comparación con la de los irracionales, que prácticamente ocupan toda la recta real, pero no deja de tener su importancia que los racionales puedan escribirse como una fracción de numerador y denominador enteros, o que carezcan de cifras decimales o bien éstas sigan un patrón, al contrario que los números irracionales, que poseen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca. 

    Por cierto, dentro de los números irracionales, vuelve a haber dos familias distintas, la de los números algebraicos, o aquellos que se pueden escribir como solución de una ecuación finita, y los trascendentes, los más enigmáticos de todos. Así, mientras $\sqrt{2}$ es un irracional algebraico, al verificar la ecuación finita $x^2-2=0$, $\pi$ es un irracional trascendente, tal como demostró Ferdinand Lindemann en 1882.

$$reales;\;{\mathbb R}\left\{\begin{array}{l}racionales;\;{\mathbb Q}\left\{\begin{array}{l}enteros;\;{\mathbb Z}\\ \\ decimales\left\{\begin{array}{l}exactos\\ periodicos\\ mixtos\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \\ irracionales;\;{\mathbb I}\left\{\begin{array}{l}algebraicos\\ \\ trascendentes\end{array}\right.\end{array}\right.$$

sábado, 25 de septiembre de 2021

Manejo básico de la plataforma Moodle Centros (para profesorado)

    Esta entrada es una guía básica de la plataforma Moodle Centros que usamos en Andalucía. Su misión es enseñar al profesorado a poner en marcha la misma. Eso sí, no va a ser tan completa como un curso de Moodle, pero espero que sirva de guía al profesorado para comenzar.

    Me encanta mi trabajo de enseñar matemáticas, me considero un profesor de pizarra, pero no descarto otras herramientas tecnológicas como la plataforma Moodle, que la veo muy adecuada para alumnado mayor (de 3ºESO en adelante).

    Antes de seguir, la Moodle es gratuita para los centros escolares en Andalucía, lo da la propia Junta de Andalucía, pero sí es necesario que los diferentes centros soliciten su activación en Moodle cada nuevo curso (lo hace fácilmente cualquier miembro del Equipo Directivo). Todo lo que voy a contar solo tiene sentido si su Centro desea trabajar con Moodle.

    Importante. Lo que cuento es cierto para el curso 2021/21. A medida que pasen los años supongo que irá cambiando la interface y la entrada irá quedando obsoleta (la intentaré actualizar cada varios años)

    Por ello, para que esta entrada sea válida para este curso no voy a esperar a tener la entrada completa para publicarla, ya que quiero que el profesorado del curso 2020/21 ya pueda usarla. La voy a estructurar en una serie de tareas sencillas en un orden lógico y a medida que vaya preparando estas tareas las iré añadiendo a la entrada. Así que la publico desde ¡YA!

    Esta entrada no pretende ser un manual exhaustivo de Moodle. La Moodle es una plataforma completísima que apenas controlo, sino una guía para poder empezar a usarla... y disfrutarla. Sé que hay muchas cosas muy importantes de ella que no contaré, pero con estos apuntes usted podrá montar su curso y a partir de ahí desarrollarlo y seguramente explicarme a mí un par de cosas que yo aún no sé.


domingo, 12 de septiembre de 2021

Mis programas informáticos imprescindibles en astronomía

    En esta entrada vamos a analizar una serie de programas informáticos muy útiles para la observación astronómica. Como he dicho muchas veces en este blog, para hacer fotos de planetas, galaxias, nebulosas... casi nunca es tan sencillo como apuntar y disparar. Además de los medios técnicos imprescindibles (trípodes, cámaras, monturas, telescopios, filtros...) para el momento de trabajo de campo necesitaremos una serie de programas informáticos para planificar la observación o procesar las imágenes. A ello se dedica la presente entrada, a dar una serie de nombres de programas que debería tener en cuenta para optimizar sus imágenes. Seguro que hay más y mejores, pero son los que yo utilizo. Además de sus nombres diré para qué se utilizan, si son gratuitos o de pago, y daré también el enlace a su página principal de descarga. En algunos casos los describiré de manera generosa.

    Antes de comenzar, los voy a clasificar en tres categorías (no se me ocurre una estructura más lógica que la siguiente):

  1. Programas para planificar las observaciones
    1. Stellarium
    2. Sat24
    3. Stormsurfing
    4. Meteoblue
    5. ISS Detector
  2. Programas que se usan durante las observaciones
    1. Polar Alignment
    2. PH2
    3. Sharpcap
    4. Fire capture
    5. AsiStudio
  3. Programas de procesado de imágenes tras las observaciones
    1. StarStax
    2. PixInsight
    3. Deep Sky Stacker
    4. PIPP
    5. AutoStakkert
    6. Registax
    7. Photoshop

    No es necesario que los tenga instalados todos, sólo aquellos que se ajusten a lo que vaya a hacer. Esta va a ser una entrada distinta al resto, pero como verá, muy práctica


1 - Programas para planificar las observaciones

1.1. Stellarium

    El Stellarium para PC es sencillamente IMPRESCINDIBLE. No sólo sirve para ver cómo va a estar el cielo en un determinado momento, incluyendo satélites de júpiter, satélites artificiales... sino que además calcula efemérides entre cuerpos celestes, posee librerías como las de cuerpos menores y cometas que pueden irse actualizando (por ejemplo, muestro la trayectoria del cometa Leonardo, C/2021 A1, durante la segunda quincena de diciembre de 2021).

Trayectoria del cometa Leonard en diciembre de 2021

Curiosa configuración de los satélites de Júpiter el 11/12/2021

    Permite cargar catálogos de estrellas hasta magnitud 18, catálogos de cuásares, de objetos de cielo profundo... Usted decide qué es lo que le interesa ver. Y por si fuera poco, el programa es GRATUITO. Yo, sinceramente es el primer programa de la lista que instalaría, haga astrofotografía o no.

    Existen además dos APPs para móviles, el Stellarium (gratuita) y el Stellarium+ (algo mejor que la anterior pero de pago, sobre unos 5 euros). Yo el que más utilizo es el de PC, pero reconozco que en mi móvil tengo las dos APPs. Instálelo y disfrute.

jueves, 9 de septiembre de 2021

Astrofotografía - Como usar el WBPP (Weighted Batch PreProcesing) de PixInsight

    El proceso de calibrado y apilado de imágenes es esencial en la fotografía de cielo profundo (véase la siguiente entrada). Existen varios programas que lo hacen, pero creo que el mejor de ellos, por cierto de una empresa española, Pleiades Astrofoto, es el PixInsight. Describamos el funcionamiento del Script WBPP (Weighted Batch Preprocesssing) de dicho programa.

NOTA IMPORTANTE: Los amigos de PixInsight han reformado esta primavera de 2022 el módulo WBPP, por ello, al hablar de este módulo los resultados no se corresponden con la realidad. Es un trabajo actualizar lo que se dice con nuevas imágenes, procesos... Voy a esperar un tiempo a que PixInsight dé por concluido dicho módulo WBPP para actualizarlo en el blog. A cambio, próximamente voy a describir un script nuevo de PixInsight que automatiza casi todo el proceso.






    Se supone que tenemos los archivos Light, Dark, Flat y Bias y que queremos apilarlos en un solo archivo MasterLight que mejore las imágenes que tenemos por separado como ha hemos mencionado al principio de la entrada. Una vez que tenemos instalado el PixInsight, para acceder al Script WBPP seguimos la ruta SCRIPT / BATCH PROCESSING / WEIGHTED BATCH PREPROCESSING


    Una vez que entremos tendremos la opción de realizar el calibrado y apilado, pero tendremos que tener cuidado, ya que este es un  proceso riguroso, y si realizamos mal algún paso los resultados no serán los deseados. Por ejemplo, doy una imagen simple y otra apilada de M52 + NGC7635 (Nebulosa de la Burbuja). Se insiste en que el calibrado y apilado optimiza los resultados.


    Es evidente que tomar los 4 tipos de imágenes y calibrarlos adecuadamente mejora los resultados. Ahora bien, si con los mismos tipos de imágenes realizamos mal el proceso de calibrado, los resultados pueden no ser los esperados (doy un ejemplo de mal apilado con las mismas imágenes anteriores). Por lo pronto parece que ha habido un mal proceso con los Flats, ya que se produce como un contraviñeteo (la parte exterior de la imagen más clara que el centro)


    Bien. Queda claro que hay que calibrar y apilar para mejorar los resultados de las fotos individuales, y queda claro que hay que hacerlo adecuadamente. Volviendo al PixInsight, había un Script muy sencillo para apilar de manera automática que lo hacía y bastante bien, el Batch Preprocessing (BPP). El tema es que los chicos de PI dan al BPP por obsoleto (no lo van a actualizar más) y en su lugar hay otro script que lo sustituye, el Weighted Batch Preprocessing (WBPP). ¿Merece la pena pasarse del BPP al WBPP? Doy otro ejemplo. Ambas imágenes surgen de los MISMOS archivos y MISMA imagen de referencia, por lo que la comparación es muy fiable.


    Aunque no hay demasiada diferencia, ambas imágenes están muy bien a falta del procesado final, si nos fijamos en la parte de la nebulosa de la burbuja, se ve algo mejor en la imagen de la derecha, apilada con WBPP. Parece ser que sí, que es conveniente pasarse al WBPP. A cómo usarlo para optimizar los resultados se dedica lo que queda de entrada.

lunes, 9 de agosto de 2021

Neptuno, dios del mar

     La historia del descubrimiento de Neptuno es sencillamente espectacular para aquellos a los que nos gusta la Ciencia. Urano se descubrió por casualidad en marzo de 1781. Sir William Herschel enfocaba su telescopio, construido por él mismo y el mejor de su época, creo recordar que se llamaba "el leviatán", y detectó un objeto que se movía de posición noche tras noche, de manera que al poner más aumentos su tamaño aparente aumentaba proporcionalmente, a diferencia de las estrellas. Herschel pensó que era un cometa, que luego resultó ser un planeta y... bueno, hay más información en la siguiente entrada dedicada a Urano

    El hecho es que se había descubierto un planeta nuevo en 1781. Pego un salto de casi 40 años y me voy a 1821, año en el que se habían perfeccionado (gracias a Copérnico, Brahe, y especialmente Kepler y Newton) las reglas del movimiento planetario, y con dichas reglas era evidente que algo no iba bien con Urano.

    Efectivamente, Alexis Bouvard, en 1821, publicó en sus tablas astronómicas la órbita de Urano. Sin embargo, dicha órbita presentaba desviaciones sustanciales, se aceleraba a veces y se retrasaba otras veces, anomalías que indujeron a Bouvard a afirmar que la órbita de Urano se encontraba perturbada por otro cuerpo. Si ya había aparecido un planeta nuevo ¿por qué no podría haber más?

    En 1843, el matemático y astrónomo inglés John Couch Adams, a partir de las anomalías en la órbita de Urano, dedujo la existencia de un octavo planeta, así como su situación aproximada, mandando sus resultados a George Airy, astrónomo real, que le pidió más información. Adams la preparó, pero no llegó a enviársela a Airy, por lo que el tema se quedó así.

    Mientras, Urbain Le Verrier, matemático francés, independientemente de Adams publicó sus propios cálculos, que iban en la misma dirección, John Herschel, hijo de William Herschel (descubridor de Urano), siguió con dicho enfoque matemático, y le pidió a James Challis que lo buscara, que lo hizo pero sin mucho afán.

    El hecho es que Johan Gottfried Galle, director del observatorio de Berlín, se puso a buscarlo. Contaba para ello con un mapa celeste muy reciente de la zona. Mientras Galle miraba las estrellas de la zona y le iba dando sus posiciones de ascensión recta y declinación, su ayudante D'Arrest iba confirmando si estaban o no en la carta celeste. Ese 23 de septiembre de 1846, llevaban trabajando como una hora en el problema cuando a menos de un grado de la posición señalada por Le Verrier y Adams, al llegar a un punto de octava magnitud y cantar su posición Galle, su ayudante, emocionado, le respondió ¡No está! ¡No está en la carta!

    Las matemáticas habían triunfado. Mientras Urano se encontró por casualidad, Neptuno se buscó y se encontró usando la Ciencia. Después se comprobó que se había registrado en cartas anteriores, que había sido visto más veces antes... pero el descubrimiento del octavo planeta se produjo el 23 de septiembre de 1846, y se reconoce a tanto a Le Verrier como a Adams como sus descubridores.

    En cuanto al nombre, si Urano representaba al Caelus romano, dios de los cielos e hijo de Saturno, este nuevo planeta tendría el nombre de otro hijo de Saturno, pero volviendo a la nomenclatura latina (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter, Saturno y Caelus son romanos, sus equivalentes griegos son Hermes, Afrodita, Ares, Zeus, Chrono y Urano), en este caso Neptuno (en griego Poseidón), otro hermano de Júpiter y Plutón. Se corresponde con el dios del mar; gobierna todos los mares y cabalga las olas sobre caballos blancos, le gusta estar acompañado de delfines y vive en un castillo dorado. Todas las criaturas marinas le obedecen, y con su tridente puede desde hacer brotar manantiales de agua dulce en el mar como desencadenar las más horribles tempestades marinas.

    Posee dos satélites principales, Tritón y Nereida.  

    A continuación muestro a Neptuno, en un gif animado a partir de 6 fotos que tomé a principios de febrero de 2021 en 6 días consecutivos con buen tiempo. En su movimiento se ven un par de satélites, pero para verlos con más claridad, arriba a la derecha pongo una imagen ampliada .

    Con ustedes... Neptuno, dios del mar.




domingo, 25 de julio de 2021

Astrofotografía sin telescopio

    Me encanta hacer fotos con mi telescopio (en realidad tengo tres tubos distintos según lo que quiera fotografiar), pero reconozco que no es una opción al alcance de todos porque requiere cierto sacrificio (eso de pasar parte de la noche en la azotea pasando frio lejos de la familia no lo comprende todo el mundo), y además de ello, y no se lo voy a discutir, porque es una afición cara. Si usted piensa, porque a su hijo/a, hermano/a, padre o madre le gusta la astronomía comprarle un telescopio magnífico y barato que le da 1000 aumentos, hable antes con un  profesional o al menos lea la siguiente entrada; un telescopio mal elegido no vale para nada y lo que seguramente obtenga sea mucha frustración. No digo que haya que gastarse una millonada para tener un telescopio decente; por relativamente no mucho dinero hay opciones que permitirán disfrutar de esta afición y hacer fotos, pero sí, no le saldrá barato.

    Ahora bien, y a esto se dedica la entrada... No es necesario disponer de un telescopio para hacer astrofotografía. Por muy poco se pueden hacer cosas curiosas ¿Qué le parecen estas fotos?






    De todos modos, la última foto en la que se ve el cinturón de Orión, la Gran Nebulosa de Orión , y la Nebulosa cabeza de caballo tiene "trampa". Técnicamente se ha hecho sin telescopio, sí, usando una cámara reflex con un teleobjetivo a una distancia focal 100, pero apilando 47 fotos de 2 minutos, ya que la cámara no estaba apoyada en un trípode, sino en un telescopio puesto en estación mediante la técnica del piggyback. Como foto no valdría para esta entrada, pero nótese que sólo con teleobjetivos ya pueden captarse muchas estrellas. Por eso la muestro.

¿Y qué le parecen estos vídeos?

- Movimiento de la Vía Láctea sobre el mar

    Espero que le gusten (en mi canal de youtube puede encontrar más). Todo lo que me ha hecho falta para hacerlas está en la siguiente imagen, y esto ya es más económico que un telescopio; una cámara réflex, un trípode y un disparador. A cómo usarlos y sugerirle ideas va la presente entrada, como siempre basada en mi experiencia y razonando todo.


jueves, 24 de junio de 2021

Las técnicas de astrofotografía; diferencias entre fotografía planetaria y de cielo profundo

    Uno pensaría que para hacer una foto astronómica basta con apuntar al cielo y disparar. Nada de eso. La fotografía astronómica es un proceso bastante complejo que requiere cierta experiencia y un dominio de sus técnicas si se desean buenos resultados, por no decir unos medios en general nada baratos. En la presente entrada voy a describir a grandes rasgos (es todo un mundo, eso sí, fascinante) las dos principales opciones de astrofotografía; la fotografía planetaria y la de cielo profundo, así como el cómo se realizan. En esta entrada le razonaré las diferencias entre fotografía planetaria y de cielo profundo, y dedicaré dos entradas nuevas a explicar dichas técnicas con más detalle.

    Siguiendo mi línea, todo se lo intentaré explicar desde mi experiencia y sin entrar en fórmulas complejas, de modo que lo que yo le cuente sea lo más comprensible posible. voy a comenzar haciéndole reflexionar un poco.


1- Acerca del tamaño aparente de los planetas y de los objetos de cielo profundo

En esta entrada usaré el concepto de tamaño aparente, algo tan sencillo como el tamaño que parece tener un objeto pero sin tener en cuenta la distancia. Un objeto con un tamaño aparente grande podría ser muy pequeño pero estar muy cerca de la Tierra, mientras un objeto de tamaño aparente pequeño podría ser mucho más grande que el anterior pero estar a su vez mucho más lejos. La luna posee un tamaño aparente más grande que Júpiter, siendo más pequeña. Eso se debe a que está mucho más cerca. En realidad, que los objetos estén cerca o lejos no nos preocupa, lo que nos interesa es que su tamaño aparente sea mayor o menor.

Observe las siguientes fotografías en las que se ve el brazo de Sagittarius de la vía láctea.

Esas dos estrellitas que se ven a la derecha de ambas imágenes, las dos más brillantes, son Júpiter y Saturno, unos 5 meses antes de la gran conjunción de diciembre de 2020. Son los dos planetas más grandes del Sistema Solar ¿y cómo se ven? como si fueran 2 estrellas. Esto es, para ver y fotografiar adecuadamente los planetas necesitaremos ir a muchos aumentos, ya que los planetas poseen prácticamente el mismo tamaño aparente de las estrellas, son como puntos.