Dentro de los números reales hay dos grandes familias, la de los números racionales y la de los números irracionales. En realidad, la de los números racionales es ínfima en comparación con la de los irracionales, que prácticamente ocupan toda la recta real, pero no deja de tener su importancia que los racionales puedan escribirse como una fracción de numerador y denominador enteros, o que carezcan de cifras decimales o bien éstas sigan un patrón, al contrario que los números irracionales, que poseen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca.
Por cierto, dentro de los números irracionales, vuelve a haber dos familias distintas, la de los números algebraicos, o aquellos que se pueden escribir como solución de una ecuación finita, y los trascendentes, los más enigmáticos de todos. Así, mientras $\sqrt{2}$ es un irracional algebraico, al verificar la ecuación finita $x^2-2=0$, $\pi$ es un irracional trascendente, tal como demostró Ferdinand Lindemann en 1882.
$$reales;\;{\mathbb R}\left\{\begin{array}{l}racionales;\;{\mathbb Q}\left\{\begin{array}{l}enteros;\;{\mathbb Z}\\ \\ decimales\left\{\begin{array}{l}exactos\\ periodicos\\ mixtos\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \\ irracionales;\;{\mathbb I}\left\{\begin{array}{l}algebraicos\\ \\ trascendentes\end{array}\right.\end{array}\right.$$
