Los números esquizofrénicos

    Dentro de los números reales hay dos grandes familias, la de los números racionales y la de los números irracionales. En realidad, la de los números racionales es ínfima en comparación con la de los irracionales, que prácticamente ocupan toda la recta real, pero no deja de tener su importancia que los racionales puedan escribirse como una fracción de numerador y denominador enteros, o que carezcan de cifras decimales o bien éstas sigan un patrón, al contrario que los números irracionales, que poseen infinitas cifras decimales que no se repiten nunca. 

    Por cierto, dentro de los números irracionales, vuelve a haber dos familias distintas, la de los números algebraicos, o aquellos que se pueden escribir como solución de una ecuación finita, y los trascendentes, los más enigmáticos de todos. Así, mientras $\sqrt{2}$ es un irracional algebraico, al verificar la ecuación finita $x^2-2=0$, $\pi$ es un irracional trascendente, tal como demostró Ferdinand Lindemann en 1882.

$$reales;\;{\mathbb R}\left\{\begin{array}{l}racionales;\;{\mathbb Q}\left\{\begin{array}{l}enteros;\;{\mathbb Z}\\ \\ decimales\left\{\begin{array}{l}exactos\\ periodicos\\ mixtos\end{array}\right.\end{array}\right.\\ \\ irracionales;\;{\mathbb I}\left\{\begin{array}{l}algebraicos\\ \\ trascendentes\end{array}\right.\end{array}\right.$$

    Ya sabemos qué es un número irracional, y esa maravillosa propiedad, que los distingue de los racionales, de que sus infinitas cifras decimales no siguen ningún patrón, de que por más cifras que tomemos, nunca se repetirán en ninguna secuencia predecible, tal como le pasa al conocidísimo (desde tiempos de Pitágoras) $\sqrt{2}$, del que mostramos unas 4500 cifras decimales para sugerir que efectivamente no se aprecia ningún patrón.

\begin{eqnarray*}
1&.&414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737\\
&&990732478462107038850387534327641572735013846230912297024924836\\
&&055850737212644121497099935831413222665927505592755799950501152\\
&&782060571470109559971605970274534596862014728517418640889198609\\
&&552329230484308714321450839762603627995251407989687253396546331\\
&&808829640620615258352395054745750287759961729835575220337531857\\
&&011354374603408498847160386899970699004815030544027790316454247\\
&&823068492936918621580578463111596668713013015618568987237235288\\
&&509264861249497715421833420428568606014682472077143585487415565\\
&&706967765372022648544701585880162075847492265722600208558446652\\
&&145839889394437092659180031138824646815708263010059485870400318\\
&&648034219489727829064104507263688131373985525611732204024509122\\
&&770022694112757362728049573810896750401836986836845072579936472\\
&&906076299694138047565482372899718032680247442062926912485905218\\
&&100445984215059112024944134172853147810580360337107730918286931\\
&&471017111168391658172688941975871658215212822951848847208969463\\
&&386289156288276595263514054226765323969461751129160240871551013\\
&&515045538128756005263146801712740265396947024030051749531886292\\
&&563138518816347800156936917688185237868405228783762938921430065\\
&&586956868596459515550164472450983689603688732311438941557665104\\
&&088391429233811320605243362948531704991577175622854974143899918\\
&&802176243096520656421182731672625753959471725593463723863226148\\
&&274262220867115583959992652117625269891754098815934864008345708\\
&&518147223181420407042650905653233339843645786579679651926729239\\
&&987536661721598257886026336361782749599421940377775368142621773\\
&&879919455139723127406689832998989538672882285637869774966251996\\
&&658352577619893932284534473569479496295216889148549253890475582\\
&&883452609652409654288939453864662574492755638196441031697983306\\
&&185201937938494005715633372054806854057586799967012137223947582\\
&&142630658513221740883238294728761739364746783743196000159218880\\
&&734785761725221186749042497736692920731109636972160893370866115\\
&&673458533483329525467585164471075784860246360083444911481858765\\
&&555428645512331421992631133251797060843655970435285641008791850\\
&&076036100915946567067688360557174007675690509613671940132493560\\
&&524018599910506210816359772643138060546701029356997104242510578\\
&&174953105725593498445112692278034491350663756874776028316282960\\
&&553242242695753452902883876844642917328277088831808702533985233\\
&&812274999081237189254072647536785030482159180188616710897286922\\
&&920119759988070381854333253646021108229927929307287178079988809\\
&&917674177410898306080032631181642798823117154363869661702999934\\
&&161614878686018045505553986913115186010386375325004558186044804\\
&&075024119518430567453368361367459737442398855328517930896037389\\
&&891517319587413442881784212502191695187559344438739618931454999\\
&&990610758704909026088351763622474975785885836803745793115733980\\
&&209998662218694992259591327642361941059210032802614987456659968\\
&&887406795616739185957288864247346358588686449682238600698335264\\
&&279905628316561391394255764906206518602164726303336297507569787\\
&&060660685649816009271870929215313236828135698893709741650447459\\
&&096053747279652447709409924123871061447054398674364733847745481\\
&&910087288622214958952959118789214917983398108378827815306556231\\
&&581036064867587303601450227320882935134138722768417667843690529\\
&&428698490838455744579409598626074249954916802853077398938296036\\
&&213353987532050919989360751390644449576845699347127636450716327\\
&&915470159773354863893942325727754003826027478567417258095141630\\
&&715959784981800944356037939098559016827215403458158152100493666\\
&&295344882710729239660232163823826661262683050257278116945103537\\
&&937156882336593229782319298606467978986409208560955814261436363\\
&&100461559433255047449397593399912541953230093217530447653396470\\
&&662761166175351875464620967634558738616488019884849747926404506\\
&&544489691004079421181692579685756378488149898641685499491635761\\
&&448404702103398921534237703723335311564594438970365316672194904\\
&&935188290580630740134686264167247011065346349391640714628556798\\
&&017793381442404526913706660977763878486623800339232437047411533\\
&&187253190601916599645538115788841380843323210533767461812178014\\
&&296092832411362752540887372905129407339479433061943956936702079\\
&&429515878228349321931666411130154959469837897767434443539337709\\
&&957134988407890850815892366070088658105470949790465722988880892\\
&&461282816013133701029080290999745647849581545614648715516390502\\
&&419857906131093458783306200262207372471676685455499904994085710\\
&&809925759928893236615438271955005781625133038153146577907926868\\
&&500806984428479152424275441026805756321565322061885751225113063\\
&&937025362927161968251259192025216058701189596732244239267423734\\
&&490764646727375347964598819149807931718002423855453886038368310\\
&&800779182466462754117444250018727779518164383451463461299020763\\
&&343017968554385631667723518389336667042222110939144930287963812\\
&&839889311731308430042125550185498506529455637766031461255909104\\
&&611384768282359592477228629042642736163264585443928772638603431\\
&&498048963973633297548859256811492968361267258985738332164366634\\
&&870234773026101061305072986115341299488087744731112295426527516\\
&&5366591173014236062653\\
\end{eqnarray*}

    Ya sabemos qué es un número irracional, y esa maravillosa propiedad, que los distingue de los racionales, de que sus infinitas cifras decimales no siguen ningún patrón, de que por más cifras que tomemos, nunca se repetirán en ninguna secuencia predecible.

    Ahora bien ¿Pues qué le parecería conocer que existen números irracionales que al menos en su inicio sí tienen un patrón? Números irracionales en los que al principio sí se repiten cifras, de repente surge una secuencia aleatoria, vuelven a repetirse cifras, otra secuencia aleatoria... a sí varias veces, donde eso sí,. la cabra tira al monte y a medida que recorremos cifras decimales, cada vez son más cortas las partes que se repiten, y cada vez más largas las secuencias aleatorias.

    Esta curiosa propiedad es todavía más sorprendente si tenemos en cuenta que estos números de los que hablo son algebraicos, esto es, surgen de una expresión sencilla y finita, como le sucede por ejemplo a: $esquizo(31)=\sqrt{1234567901234567901234567901231}$, ya que

$\begin{eqnarray*}
&&esquizo(31)\sim\\
&&1111111111111111'11111111111110950\\
&&5555555555555555555555555554395541\\
&&666666666666666666666664990446597\\
&&22222222222222222221919454972178819\\
&&444444444444443831946297606640624\\
&&999999999998672410266729060221354166666663652089693760725555013\\
&&020833326254729778828570360531616210920452363106234362507169197\\
&&930188157202192686933721083356937727780034414666443311223152348\\
&&762686655363761379634366657613037410188447896974417381049503605\\
&&144073477634540076496140633770534554341592392352247711788355244\\
&&896514578165675045344921124857033768385043184813667216329986979\\
&&820070122388488547192064387693307608351953639968161059889687420\\
&&708500141257417333060618472789876135475716552315050945453506127\\
&&670078634914875880139547193445515881527937715933766771891305169\\
&&567272812312427106759940265327407592775322075123455937565994102\\
&&222981820933455712366825357142682951049773858028164060851011421\\
&&122749426555230710790235197194407711402610760444369526770103456\\
&&557129590809720871908475137725195848027778835524....\\
\end{eqnarray*}$

Se aprecia que al principio, en la parte decimal, se repiten de manera sospechosa secuencias de 1, 5, 6, 2, 4, 9, 6, 5, entre las cuales hay secuencias aleatorias. Igualmente se aprecia que cada vez las secuencias aleatorias van ganando peso, y las repeticiones perdiéndolo, hasta que a la cuarta línea ya no existen modelos claros de repeticiones, aunque tampoco se pueda decir que la parte decimal es tan impredecible como le sucedía a $\sqrt{2}$, ya que por ejemplo pueden apreciarse, tras la cuarta línea, muchas parejas del mismo número, como le sucede a $77$, cuando curiosamente el $7$ no era un número que se hubiera repetido antes. Igualmente creo apreciar cierta escasez de ochos, si bien esto puede ser más discutible sin hacer un estudio estadístico de la serie.

Cómo generar números esquizofrénicos

Bien... ya sabemos qué es un número esquizofrénico, veamos cómo generarlos. Para ello vamos a considerar la sucesión recurrente siguiente:

$esquizobase(0)=0$
$esquizobase(n)=n+[10*esquizobase(n-1)]$

Ello nos genera la siguiente sucesión, bastante fácil de construir y con una curiosidad, como es la escasez de ochos centrales:

1
12
123
1234
12345
123456
1234567
12345678
123456789
1234567900
12345679011
123456790122
1234567901233
12345679012344
123456790123455
1234567901234566
12345679012345677
123456790123456788
1234567901234567899
12345679012345679010
123456790123456790121
1234567901234567901232
12345679012345679012343
123456790123456790123454
1234567901234567901234565
12345679012345679012345676
123456790123456790123456787
1234567901234567901234567898
12345679012345679012345679009
123456790123456790123456790120
1234567901234567901234567901231
12345679012345679012345679012342
123456790123456790123456790123453
1234567901234567901234567901234564
12345679012345679012345679012345675
123456790123456790123456790123456786
1234567901234567901234567901234567897
12345679012345679012345679012345679008
123456790123456790123456790123456790119
1234567901234567901234567901234567901230
12345679012345679012345679012345679012341
123456790123456790123456790123456790123452
1234567901234567901234567901234567901234563
12345679012345679012345679012345679012345674
123456790123456790123456790123456790123456785
1234567901234567901234567901234567901234567896
12345679012345679012345679012345679012345679007
123456790123456790123456790123456790123456790118
1234567901234567901234567901234567901234567901229
12345679012345679012345679012345679012345679012340
123456790123456790123456790123456790123456790123451
1234567901234567901234567901234567901234567901234562
12345679012345679012345679012345679012345679012345673
123456790123456790123456790123456790123456790123456784
1234567901234567901234567901234567901234567901234567895
12345679012345679012345679012345679012345679012345679006
123456790123456790123456790123456790123456790123456790117
1234567901234567901234567901234567901234567901234567901228
12345679012345679012345679012345679012345679012345679012339
123456790123456790123456790123456790123456790123456790123450
1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234561
12345679012345679012345679012345679012345679012345679012345672


Pues bien, los números esquizofrénicos surgen, para $n$ impar, como:

$$esquizo(n)=\sqrt{esquizobase(n)}$$

Teniendo en cuenta que no todos los $n$ dan números esquizofrénicos, voy a eliminar de las bases los resultados correspondientes a $n$ par, asi como los dos primeros impares de la serie (evidentemente $\sqrt{1}=1$ y nada más que decir, y $\sqrt{123}\sim 11'09053651$ donde no se aprecia nada). Pues bien, las raíces cuadradas positivas de los siguientes elementos nos ofrecen un comportamiento esquizofrénico.

(5); 12345
(7); 1234567
(9); 123456789
(11); 12345679011
(13); 1234567901233
(15); 123456790123455
(17); 12345679012345677
(19); 1234567901234567899
(21); 123456790123456790121
(23); 12345679012345679012343
(25); 1234567901234567901234565
(27); 123456790123456790123456787
(29); 12345679012345679012345679009
(31); 1234567901234567901234567901231
(33); 123456790123456790123456790123453
(35); 12345679012345679012345679012345675
(37); 1234567901234567901234567901234567897
(39); 123456790123456790123456790123456790119
(41); 12345679012345679012345679012345679012341
(43); 1234567901234567901234567901234567901234563
(45); 123456790123456790123456790123456790123456785
(47); 12345679012345679012345679012345679012345679007
(49); 1234567901234567901234567901234567901234567901229
(51); 123456790123456790123456790123456790123456790123451
(53);12345679012345679012345679012345679012345679012345673
(55);1234567901234567901234567901234567901234567901234567895
(57);123456790123456790123456790123456790123456790123456790117
(59);12345679012345679012345679012345679012345679012345679012339
(61);1234567901234567901234567901234567901234567901234567901234561
(63);123456790123456790123456790123456790123456790123456790123456783
(65);12345679012345679012345679012345679012345679012345679012345679005
etc.

Vamos a dar a continuación algún ejemplo donde poder observar el comportamiento esquizofrénico y cómo efectivamente las partes que se repiten son cada vez más cortas y las partes aleatorias más largas, hasta que acaba venciendo el comportamiento irregular, no en vano estos números son irracionales. Veamos por ejemplo $esquizo(71)$.

111111111111111111111111111111111111 ' 111111111111111111111111111111111
0750
555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555
49705541
66666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666
47683371597
2222222222222222222222222222222222222222222222222222222222
14522123159678819
44444444444444444444444444444444444444444444444444444
09462894403309765624
9999999999999999999999999999999999999999999999999
8297273051747769508463541
66666666666666666666666666666666666666666666
57983975464114757038753255208
3333333333333333333333333333333333333333
287548417285876794876642425537109374
9999999999999999999999999999999999
752379912376672554513396673668755425347
222222222222222222222222222222
08562260088481363691953749725159115261501736
1111111111111111111111111
034547023351493599048956322765072396596272786458
333333333333333333333
289854501996840538671037182901326598328219519721137152
7777777777777777
528159118023997798576202917201406803384957048628065321180
555555555555
41091045718037412117892869438228344628685854375362396240234374
99999999
15512798039056524180612250388691760976154075406491756439208984374
9999
503083241216588388001032238926739885416311204132994171231985092163

085643456815589310052299787282793149404549728385763285580324009060

859680000850058874340371947348450988357799923375912163674646494425

057123104626674440757604602160982984145628441015600452056084287590

899960681175129422726754905336958958776623891060519357008047235466

614673685562593126091862928280222269778704645888253162034410254370

878463904896554161776456265177925015890630442467934254433073642934

664122084379819524462667601244349962659285343449844532055908633032

319804456268306977321793760803375747973994124880077536510988391908

910602081023860748026514228891325102223365268405932862278666447289

305450001905549416487941055270477434075987776043952076737374916114

834137159673280738019110250259589547166420263493040983823649051912

930230694709172065632364713521728558415213464052403587697218419875

300820841294070848755748899883847345386933079684450438104955490792

795011032624528241587102866758224373331307048249210009827925892461

395538511188811916978907213110900729960467695138375357064593884167

271310910237291686005095138114091086012182388501466651657631993514

776440870526624181173697522438294510283443709076098789020157917972

188676902147111282833728972222606215629534176399694059...

    Al poner en líneas distintas las partes que se repiten y las partes que no, ha aparecido una estructura de doble triángulo en el que  unas partes se van acortando y otras alargando.

    De nuevo se aprecia que aunque el último bloque es impredecible, se puede decir que es perfectamente irracional, hay estructuras como $11$ o $77$ que se repiten bastante, más de lo que a priori sería asumible, como le sucede a los decimales de $\sqrt{2}$, aunque seguramente a medida que los decimales crezcan estos patrones se pierdan.

Estos son los maravillosos números esquizofrénicos. La primera vez que yo los vi fue en "el prodigio de los números", capítulo 53, de Clifford A. Pickover (justo es reconocerlo). Si puedo, pondré más ejemplos.

$%http://sosnovsky.blogspot.com.es/2011/08/numeros-esquizofrenicos.html$
$% Descubiertos por Kevin Brown$
$% Clifford A Pickover; el prodigio de los números, capítulo 53$