Gonzalo profe: apuntes

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lunes, 4 de septiembre de 2023

Apuntes de la Optativa de Estadística para segundo de bachillerato

(En esta entrada cuelgo mis apuntes para la útil optativa de 2 horas de Estadística para segundo de bachillerato y explico el porqué de su utilidad.)

Voy a comparar en una tabla lo que se da en bachillerato de Ciencias y Tecnología, lo que se da en bachillerato de Ciencias Sociales, y lo que cae en las correspondientes pruebas PAU. Las líneas horizontales separan bloques de contenidos en cada prueba (4 bloques por prueba)

En general, el alumnado de Ciencias y Tecnología y de Ciencias Sociales comparten algo más de medio temario (en negro; derivadas, integrales y matrices). Eso sí, se supone que para el alumnado de ciencias la profundidad de los temas es mayor.

El hecho es que el alumnado de Ciencias y Tecnología, bajo ciertas condiciones, también puede presentarse a la prueba PAU de MCS II y convalidar su nota (importante, sólo en Andalucía), pero le faltaría ver lo correspondiente (color azul) a Programación Lineal, Probabilidad y Estadística para poder hacer sin problemas (color rojo) la prueba PAU de MCS II.

Esa es la primera utilidad de la Estadística; al alumnado de Ciencias y Tecnología se le enseñan Programación Lineal, Probabilidad y Estadística, con lo cual todo lo que puede entrarle en la prueba PAU de MCS II quedaría cubierto. Es más, me atrevo a decir que la prueba PAU de MCS II es más que asequible para el alumnado de Ciencias y Tecnología, ya que en general sus derivadas, integrales y matrices serán más fáciles que las de la prueba PAU de MAT II, y los contenidos de Programación Lineal, Probabilidad y Estadística son ciertamente sencillos.

Otra utilidad para el alumnado de Ciencias y Tecnología es que al poder presentarse a las dos pruebas PAU, MAT II y MCS II, puede apurar hasta junio su elección en la matrícula PAU (ideal para los que comienzan el curso y no saben aún qué grado van a hacer).

Y para el alumnado de Humanidades y Ciencias Sociales, especialmente para aquel que tiene problemas en matemáticas o que necesita sacar nota en la prueba PAU de MCS II viene la tercera utilidad; la asignatura le sirve de refuerzo, teniendo normalmente 2 profesores para ver lo mismo, lo que debe enriquecer la enseñanza. Si la optativa de Estadística, como tal, es fácil de aprobar, en vez de ver los contenidos del curso en 4 horas semanales (asignatura de MCS II), se ven en $4+2=6$ horas.

Es por esto que recomiendo la optativa de Estadística para todo tipo de alumnado; para el de Ciencias y Tecnología que no tenga claro que estudiar (de esta forma en mayo podría matricularse de las matemáticas PAU que más le interesen), y para el alumnado de Ciencias Sociales al que las matemáticas le cuesten o que necesite nota en matemáticas.

Además, en mi instituto es una optativa muy fácil de aprobar. En mi caso, la mitad de la nota, 5 puntos, se corresponden a pruebas escritas con sus correspondientes recuperaciones, y la otra mitad son sencillos cuestionarios Moodle que el alumno puede hacer las veces que quiera (el sistema se queda siempre con la mejor de las notas), por lo que un alumno puede tener aprobada la asignatura antes de hacer los exámenes, resultando una optativa fácil de aprobar y de sacar nota.

Esta es la optativa de Estadística de mi instituto para segundo de bachillerato y porqué considero útil cursarla. A continuación doy su temario, incluyendo las fichas de ejercicios que utilizo en clase

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lunes, 4 de julio de 2022

La paradoja de la "campana de Gabriel"

(en esta entrada se describe la "paradoja", en realidad no lo es, del área y volumen encerrada por la función $\displaystyle\frac{1}{x}$ entre $1$ y $+\infty$ al girar alrededor del eje $OX$)

1. Presentación

He leído varias veces que uno de los cuentos más notables de Hans Christian Andersen es el de la princesa y el guisante, y esta notoriedad se debe a su mensaje y a su brevedad. A diferencia de otras entradas del blog, ésta también va a ser breve, y por supuesto contundente.

En realidad, el título de la entrada no es correcto... lo que voy a decir no es ninguna paradoja, sino un hecho, pero la interpretación de la vida real que voy a hacer en el penúltimo párrafo es un resultado tan sorprendente que parece imposible. Dejémoslo en la "locura de la campana de Gabriel".

Comencemos presentando a nuestra protagonista, la función $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, llamada "hipérbola equilátera". Es una función cónica que posee una asíntota vertical en $x=0$ (cuando $x$ se hace muy pequeña la función se hace muy grande), y asíntota horizontal cero en $+\infty$ (cuando la $x$ se hace muy grande, la función se hace muy pequeña). Para mis alumnos de bachillerato no tiene misterios.

Tiro del programa geogebra y la represento gráficamente. Se observa que además es una función impar, $f(-x)=-f(x)$

La idea ahora es la siguiente, me quedo con la parte que va de $1$ a $+\infty$ y la hago girar alrededor del eje $OX$, se forma un tipo de embudo muy alargado.

En algún sitio leí que a esta figura la llamaban la campana o el cuerno de Gabriel (es coherente con estos tiempos revueltos tener algo del Apocalipsis y demás), otros que si se parece al giraldillo de Sevilla (no sé, para mí que lo que tenía el giraldillo en su brazo izquierdo era una gran pluma). También se la llama campana de Torricelli. El hecho es que tenemos una figura de revolución de tres dimensiones, y mediante el cálculo integral puedo calcular su área y su volumen.

2. Cálculo del área lateral

El cálculo integral dice que el cálculo del área lateral que una función $f(x)$ genera al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b 2\pi f(x)\,dx$$

Por ello, en nuestro caso (me encanta que bloger admita $\LaTeX$ para poder escribir mates):

$\begin{eqnarray}A(x)&=&\int_1^{+\infty} 2\pi \frac{1}{x}\,dx=2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln x\right]_1^{+\infty}=\\&=&2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln(+\infty)-\ln(1)\right]=2\pi(+\infty-0)=2\pi(+\infty)=+\infty\end{eqnarray}$

Es cierto que ese $\ln(+\infty)$ podríamos haberlo calculado como un límite y una integral impropia, pero el logaritmo en el infinito vale infinito, por lo que lo anterior es fácil de asumir.

3. Cálculo del volumen interno

El cálculo integral dice que el cálculo del volumen que una función $f(x)$ encierra al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b \pi f^2(x)\,dx$$

Por ello, en nuestro caso (de nuevo cometo cierto abuso de notación no entrando en límites, pero todo es evidente) :

$\begin{eqnarray}V(x)&=&\int_1^{+\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty}=\\&=&-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{1}\right]=-\pi(0-1)=-\pi(-1)=+\pi\end{eqnarray}$

4. Conclusión

Como decía, esta entrada iba a ser breve y contundente Pues nada, el área lateral que encierra esta figura es infinita, mientras el volumen que encierra es finito. Cuando yo estaba en C.O.U. mi profesor me lo resumió con palabras parecidas a éstas.

Imaginemos que esta figura geométrica es una habitación cuya pared es del grosor de una línea matemática, o sea, nada. Como el volumen es finito significa que podemos llenarla de pintura, con $\pi$ litros de pintura se llena. Ahora bien, como su superficie es infinita, no hay en el universo pintura suficiente para darle una capa por fuera a esta habitación. Por dentro se llena, por fuera no le damos una capa, y la diferencia es el grosor de una línea que vale cero.

Sorprendente ¿verdad? Y no es una paradoja, sino un hecho.... "la locura de la campana de Gabriel".

AMPLIACIÓN.

Estaba hoy mismo reflexionando sobre la entrada ya publicada y me di cuenta de que los resultados de las integrales no son tan extraños (los de la conclusión siguen siendo una locura), ya que recordé del primer curso de carrera de Matemáticas en la universidad de Sevilla, que la llamada serie armónica tenía una suma divergente:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots=+\infty$$

Ello parece estar relacionado con que $\displaystyle 2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty$

Sin embargo, la serie de los inversos de los cuadrados ya es convergente, y se cumple

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

Por lo que también parece más fácil de asumir que $\displaystyle\pi^2\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi$

viernes, 1 de noviembre de 2019

Apuntes, ejercicios y exámenes de Matemáticas de MCS2, 2º de bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales

Este blog lleva ya cerca de 100000 visitas. En este tiempo han pasado muchas cosas... una de ellas es que Google DRIVE utiliza unos enlaces más largos y seguros, por lo que los enlaces a los diferentes PDF se habían quedado obsoletos y me llegaban muchas peticiones para compartir lo que en teoría ya había compartido antes. Otra cosa que ha pasado es que mis apuntes han cambiado a lo largo de estos años.

Efectivamente, últimamente he revisado mis apuntes de matemáticas de bachillerato, los he racionalizado (hay menos repeticiones de ejercicios, las fichas de ejercicios van a ser más estables a los cambios, va a ser más más fácil para mí poner sus soluciones...), he preparado también fichas resúmenes con menos páginas pero de lo que entiendo más importante por lo que va siendo hora de volver a colgar en el blog los nuevos apuntes con unos nuevos enlaces de descarga.

En esta entrada publico mis "nuevos" materiales de matemáticas de 2º de bachillerato de Ciencias Sociales, MCS II. Como referencia en cuanto al orden de las unidades tomo lo recogido en la programación de mi instituto, el IES Pablo Ruiz Picasso de Chiclana, y que básicamente se ajusta al orden de las pruebas PAU.

La entrada se completa con el acceso a una página de este blog con mi recopilación de todas las preguntas de Selectividad de Andalucía de MCSII desde 1999 (más de 1400 ejercicios) ordenadas por bloques; ideal para preparar exámenes o la propia Selectividad.

Espero que le sean de utilidad, Agosto de 2023

Tema 0 - Repaso de primero de funciones y sus tipos

- Teoría del tema

(Ejercicios dentro de la ficha del tema 1)

Tema 1 - Limites y continuidad

- Teoría del tema

- Ficha de ejercicios completa sin soluciones

- Ficha de ejercicios completa con soluciones

- Ficha de ejercicios resumida sin soluciones

- Ficha de ejercicios resumida con soluciones

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Apuntes y ejercicios de MCS1, Matemáticas de 1º de bachillerato de Humanidades y Ciencias Sociales

En esta entrada, voy a actualizar mis materiales de matemáticas de primero de bachillerato de Ciencias Sociales, MCS I. Como referencia en cuanto al orden de las unidades tomo lo recogido en la programación de mi instituto, el IES Pablo Ruiz Picasso de Chiclana.

Entiendo que esta actualización era necesaria, ya que los enlaces antiguos de Google Drive me estaban dando problemas y los apuntes llevaban ya mucho tiempo sin cambios en el blog. En general he hecho una restructuración de todos los apuntes de bachillerato y creo que los nuevos son menos susceptibles a las modificaciones futuras.

Como siempre, las fichas de ejercicios son muy extensas, los ejercicios están ordenados en categorías, hay fichas de autoevaluación al acabar cada tema, y ya queda al cuidado del profesor ver qué páginas trabaja en clase.

Espero que le sirvan,

Septiembre de 2023

Tema 1 - Polinomios y Factorización

Científicos

lunes, 4 de septiembre de 2023

lunes, 4 de julio de 2022

1. Presentación

2. Cálculo del área lateral

3. Cálculo del volumen interno

4. Conclusión

viernes, 1 de noviembre de 2019

miércoles, 7 de noviembre de 2018

domingo, 16 de septiembre de 2018

viernes, 26 de enero de 2018

sábado, 27 de mayo de 2017