La paradoja de la "campana de Gabriel"

 (en esta entrada se describe la "paradoja", en realidad no lo es, del área y volumen encerrada por la función $\displaystyle\frac{1}{x}$ entre $1$ y $+\infty$ al girar alrededor del eje $OX$)

1. Presentación

    He leído varias veces que uno de los cuentos más notables de Hans Christian Andersen es el de la princesa y el guisante, y esta notoriedad se debe a su mensaje y a su brevedad. A diferencia de otras entradas del blog, ésta también va a ser breve, y por supuesto contundente.

    En realidad, el título de la entrada no es correcto... lo que voy a decir no es ninguna paradoja, sino un hecho,  pero la interpretación de la vida real que voy a hacer en el penúltimo párrafo es un resultado tan sorprendente que parece imposible. Dejémoslo en la "locura de la campana de Gabriel".

    Comencemos presentando a nuestra protagonista, la función $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, llamada "hipérbola equilátera". Es una función cónica que posee una asíntota vertical en $x=0$ (cuando $x$ se hace muy pequeña la función se hace muy grande), y asíntota horizontal cero en $+\infty$ (cuando la $x$ se hace muy grande, la función se hace muy pequeña). Para mis alumnos de bachillerato no tiene misterios.

    Tiro del programa geogebra y la represento gráficamente. Se observa que además es una función impar, $f(-x)=-f(x)$

    La idea ahora es la siguiente, me quedo con la parte que va de $1$ a $+\infty$ y la hago girar alrededor del eje $OX$, se forma un tipo de embudo muy alargado.

    En algún sitio leí que a esta figura la llamaban la campana o el cuerno de Gabriel (es coherente con estos tiempos revueltos tener algo del Apocalipsis y demás), otros que si se parece al giraldillo de Sevilla (no sé, para mí que lo que tenía el giraldillo en su brazo izquierdo era una gran pluma). También se la llama campana de Torricelli. El hecho es que tenemos una figura de revolución de tres dimensiones, y mediante el cálculo integral puedo calcular su área y su volumen.

2. Cálculo del área lateral

    El cálculo integral dice que el cálculo del área lateral que una función $f(x)$ genera al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b 2\pi f(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (me encanta que bloger admita $\LaTeX$ para poder escribir mates):

$\begin{eqnarray}A(x)&=&\int_1^{+\infty} 2\pi \frac{1}{x}\,dx=2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln x\right]_1^{+\infty}=\\&=&2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln(+\infty)-\ln(1)\right]=2\pi(+\infty-0)=2\pi(+\infty)=+\infty\end{eqnarray}$

    Es cierto que ese $\ln(+\infty)$ podríamos haberlo calculado como un límite y una integral impropia, pero el logaritmo en el infinito vale infinito, por lo que lo anterior es fácil de asumir.

3. Cálculo del volumen interno

    El cálculo integral dice que el cálculo del volumen que una función $f(x)$ encierra al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b \pi f^2(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (de nuevo cometo cierto abuso de notación no entrando en límites, pero todo es evidente) :

$\begin{eqnarray}V(x)&=&\int_1^{+\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty}=\\&=&-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{1}\right]=-\pi(0-1)=-\pi(-1)=+\pi\end{eqnarray}$

4. Conclusión

    Como decía, esta entrada iba a ser breve y contundente Pues nada, el área lateral que encierra esta figura es infinita, mientras el volumen que encierra es finito. Cuando yo estaba en C.O.U. mi profesor me lo resumió con palabras parecidas a éstas.

    Imaginemos que esta figura geométrica es una habitación cuya pared es del grosor de una línea matemática, o sea, nada. Como el volumen es finito significa que podemos llenarla de pintura, con $\pi$ litros de pintura se llena. Ahora bien, como su superficie es infinita, no hay en el universo pintura suficiente para darle una capa por fuera a esta habitación. Por dentro se llena, por fuera no le damos una capa, y la diferencia es el grosor de una línea que vale cero.

Sorprendente ¿verdad? Y no es una paradoja, sino un hecho.... "la locura de la campana de Gabriel".

AMPLIACIÓN. 

Estaba hoy mismo reflexionando sobre la entrada ya publicada y me di cuenta de que los resultados de las integrales no son tan extraños (los de la conclusión siguen siendo una locura), ya que recordé del primer curso de carrera de Matemáticas en la universidad de Sevilla, que la llamada serie armónica tenía una suma divergente:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots=+\infty$$

Ello parece estar relacionado con que  $\displaystyle 2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty$

Sin embargo, la serie de los inversos de los cuadrados ya es convergente, y se cumple

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

Por lo que también parece más fácil de asumir que  $\displaystyle\pi^2\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi$