(En esta entrada voy a hablar de los transfinitos, o los números después del infinito. Pregunta... ¿Cuántos infinitos hay? Pues infinitos).
No es un tema fácil de entender, pero a mis alumnos de bachillerato, o quizás de un grupo alto de la ESO que responda, me gusta lanzarle la base de los diferentes infinitos, porque los hay, y que entiendan la diferencia entre el número de los números racionales y los reales. Creo que ellos hablan de explotarles la cabeza... puede ser, pero si al bueno de George Cantor no le explotó (aunque estuvo cerca)...
No se preocupe, la entrada creo que va a ser muy fácil de entender, y voy a acabar demostrando, creo que con los mismos razonamientos que Cantor, que hay al menos dos infinitos distintos. Es más, voy a dar unas ideas matemáticas de razonar, si quiere llámelo trucos, que siempre vienen bien al estudiante de carreras (perdón, grados) técnicos.
Antes de nada, quiero dejar claro la diferencia entre número cardinal y número ordinal. Ambos son números y como tales sirven para contar, pero mientras los números cardinales hacen referencia a la cantidad, por ejemplo 4 niños, 5 sombrillas, los números ordinales se centran en la posición que ocupan los números, al orden en definitiva; el cuarto niño, la quinta sombrilla. Y por ejemplo usted no diría: En la carrera quedé 6 (sino sexto), o voy a la pastelería a comprar el cuarto pastel (sino 4 pasteles). Aunque puede haber situaciones en las que no esté mal hablar de números cardinales en vez de ordinales o viceversa, la distinción está clara:
- Números cardinales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.
- Números ordinales: 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, etc.
Dicho esto, comencemos con varias ideas muy sencillas de entender.
1- Hay números después del infinito
La primera en la frente. Efectivamente hay números después del infinito. Le pongo un ejemplo bastante instructivo.
De Chiclana a San Fernando hay un sendero que cruza un Parque Natural. Ambas ciudades están separadas $10 km$ (esto es cierto, lo que viene seguramente no). Supongamos que el sendero es perfectamente recto, y nos situamos en Chiclana en una bicicleta que se va a mover justamente a $10 \,km/h$. Ni mas ni menos va a ir a esa velocidad durante todo el camino, por lo que justamente en una hora va a recorrer esos $10\,km$ y va a llegar a San Fernando.
Además del ciclista, tenemos una mosca, pero no una mosca cualquiera, sino a una de la especie drosophila tancaprichosacomoincansabilis, que se mueve siempre a una velocidad constante de $20\,km/h$ y que posee la increíble facultad de girar 180º y darse la vuelta en un tiempo exactamente igual a cero, siguiendo siempre a la misma velocidad.
En un primer momento la mosca y el ciclista están juntos, y ambos comienzan a moverse de Chiclana a San Fernando (meta), el ciclista a sus $10\,km/h$, la mosca al doble de velocidad. Como la mosca va al doble de velocidad, va dejando al ciclista atrás, y cuando ésta llega a San Fernando, el ciclista está justamente a mitad de camino. Al llegar la mosca a San Fernando, se da la vuelta instantáneamente (en tiempo cero) en busca del ciclista. Como el ciclista no había llegado aún y estaba a cierta distancia de la meta, y como la mosca va más rápido, la mosca se encuentra con el ciclista antes de que éste llegue a la meta. Llega a su altura y vuelve a darse la vuelta instantáneamente en busca de la meta, siempre va más rápido y vuelve a dejar al ciclista atrás, llegando a la meta antes que el ciclista. Al llegar a la meta vuelve a darse la vuelta instantáneamente, ya digo que la mosca es de la especie drosophila tancaprichosacomoincansabilis, vuelve a buscar al ciclista, lo encuentra, se da la vuelta, se dirige a la meta, vuelve a buscar al ciclista y así una y otra vez.
Le doy una imagen en el que la mosca y el ciclista no están a escala (afortunadamente, no le quepa duda). No les voy a decir que esta situación no sea estresante, sobre todo para la mosca (el ciclista se está dando un paseo tranquilo en un sendero recto de $10\,km$ en el Parque Natural, mientras la mosca va a una mayor velocidad y no deja de hacer cambios de dirección). Pero si aceptamos este ejemplo (tan extraño, eso sí), podemos extraer varias conclusiones.
- Como el espacio siempre se puede dividir en trozos más pequeños (esto es importante), en un momento dado, por cerca que estén ambos de la meta, el ciclista y la mosca no habrán llegado aún a la meta, por lo que podremos dividir ese espacio en trozos más pequeños, la mosca llegará de nuevo a la meta antes que el ciclista, se dará la vuelta mientras el ciclista aún no ha llegado, y volverán a encontrarse antes de que éste llegue a la meta, a cierta distancia de la meta menor que la anterior. Este proceso se va a repetir infinitas veces, aunque cada vez con iteraciones más cortas.
- Por ello, la pobre mosca va a dar infinitas vueltas. Cada vez va avanzar menos metros porque la distancia entre ciclista y destino es menor (le pongo de ejercicio calcular la distancia total que va recorrer la mosca; la daré al final de la entrada), eso sí, cada vez tendrá que darse la vuelta con más frecuencia al no haber mucha distancia entre el inicio del nuevo trayecto (ciclista) y el final (la meta que no cambia), pero como decía anteriormente, al ser el espacio una medida siempre divisible, este proceso de dividir el poco espacio que quede por recorrer y hacer dos nuevos trayectos para encontrarse a cierta distancia (algo menor, sí) del final, se repite infinitas veces (Sí, esto recuerda mucho a las paradojas de Zenón, en particular la de la flecha)
- Sé que me repito, pero este es un punto principal. La mosca, como un Sísifo moderno, va a estar condenada a dar infinitos giros, cada vez en menos tiempo.
- Pero, y aquí está la clave, la bicicleta va a una velocidad constante, por lo que al cabo justo de una hora llega a su destino, quedando liberada la mosca de su castigo. Y la pregunta es: Al cabo de una hora justa, en el momento en el que la bici llega a su destino ¿Cuántos giros dio la mosca? Dijimos que infinitos, y es correcto. Al cabo de una hora, en el momento que el ciclista llegue a la meta, la mosca ha dado infinitos giros, y a partir de ahí, cuando la mosca se vaya a donde quiera y haga otro giro habrá hecho $\infty+1$, cuando vuelva a girar será $\infty+2$, $\infty+3$, etc.
Sin duda es un ejemplo extraño; aún nadie ha visto una drosophila tancaprichosacomoincansabilis (y eso que es grande y que en la Bahía de Cádiz he visto cosas raras), pero nos da la idea de que efectivamente puede haber números tras el infinito.
Lamento haberle derrumbado su idea del infinito como algo inalcanzable. De todos modos no tema, el infinito efectivamente es inalcanzable (eso sí, le animo a seguir leyendo para seguir derribando mitos).
Pero $\infty$ es una idea poderosa, mientras $\infty\!+\!3$ es decir de alguna forma "pues no eras para tanto". Por ello, al hablar de matemática transinfinita, o números tras el infinito, los matemáticos no decimos $\infty +3$, sino que a este infinito, el primero de ellos (spoiler), lo llamamos $\omega$, y en su lugar escribimos $\omega\!+\!3$, de forma que salvamos un poco el prestigio de $\infty$. Por cierto, estos números son ordinales.
Le propongo calcular la distancia recorrida en total por la mosca en esa hora tras esos infinitos giros. Al final de la entrada, en el apéndice 9.1, daré la solución. Es más sencillo de lo que parece.
Creo que, encontremos o no a drosophila tancaprichosacomoincansabilis, es razonable asumir que puede haber números tras el infinito. Si está dispuesto, hablaré un poco más de ellos
Antes de nada, voy a recordar la estructura de los números ya que voy a mencionar varias veces a los números naturales, enteros, racionales o reales
Se recuerda (esto me vendrá muy bien en el apartado 5.2.2) que los números racionales, además de poder escribirse en forma de fracción, cumplen que sus cifras tienen cierta periodicidad, siendo exactas (por ejemplo $2'450000\cdots$), periódicas puras (por ejemplo $3'62626262\cdots$), o periódicas mixtas (por ejemplo $1'233333\cdots)$. En todo caso, los números decimales se caracterizan por tener infinitas cifras decimales que se repiten siguiendo un patrón, a diferencia de los números irracionales que poseen infinitas cifras decimales que no siguen ningún patrón.
2 - Con el infinito suceden cosas muy raras
Una propiedad fundamental de los conjuntos finitos es la siguiente: Si yo tengo un conjunto con un número determinado y finito de elementos, y saco de él una cantidad cualquiera de elementos, en el conjunto inicial me quedan ahora menos elementos que antes de la extracción. Esto es, el todo posee más que cualquiera de sus partes.
Por ejemplo, si en un saco poseo $97$ naranjas y saco 21, ahora en el saco me quedan $91-17=76$, que es un número menor que $97$.
Fácil de entender ¿verdad? Pues esta propiedad tan evidente no se cumple con los conjuntos infinitos, y sus partes pueden tener tantos elementos como el todo, o de otra forma, en los conjuntos infinitos el todo no tiene por qué poseer más elementos que alguna de sus partes. Veamos un par de ejemplos, incluyendo las paradojas del hotel de Hilbert.
Importante. Mientras no diga lo contrario, el infinito del que voy a hablar es el de los números naturales, ${\mathbb N}$ o infinito numerable (los elementos se pueden contar; 0, 1, 2, 3...). Ahora sí, vayamos con los ejemplos.
- El conjunto de los números naturales, ${\mathbb N}$, es infinito. Si le quito los números impares, infinitos, me quedo con los números pares, que son también infinitos. Se ve que he encontrado un subconjunto (impares) del todo (naturales) con el mismo número de elementos.
- Tenemos un hotel con infinitas habitaciones (tantas como números naturales) que presume de que siempre puede alojar a alguien más. El hotel está completo y de repente llega un nuevo cliente que desea alojarse ¿qué hacer? Pues al huésped de la habitación 0 se le saca por un momento, y en la habitación 0 se mete el nuevo huésped, al de la habitación 1 se le saca por un momento, y se mete allí al que estaba en la habitación 0, al de la habitación 2 se le saca por un momento, y se mete allí el desalojado de la habitación 1, y así sucesivamente. Es ciertamente un proceso engorroso mover a infinitas personas, pero es cierto que se le puede buscar sitio a un nuevo huésped y al final todos han sido colocados.
- ¿Y si en el pueblo del hotel completo hubiera una estación de tren con un andén infinito, de nuevo el infinito de los números naturales, y de repente llegaran infinitos viajeros? ¿también podrían alojarse? Pues sí. Al cliente que ocupa la habitación 1 se le asigna ahora la 2, al de la 2 se le asigna la 4, al de la 3 la 6, y así sucesivamente. Esto es, hacemos una nueva asignación que le dé las habitaciones pares a los antiguos clientes, dejando libres las impares para los nuevos. Y todos ubicados en el hotel
Este tipo de trucos se puede hacer repetidamente, siendo incluso posible acomodar en el hotel una cantidad infinita de trenes infinitamente ocupados, eso sí, siempre manejando los infinitos de los números naturales.
A estas situaciones se las conoce como la paradoja del hotel de Hilbert. Realmente lo paradójico no es el hotel, sino las consecuencias de trabajar con el infinito.
3. ¿Cómo comparar números infinitos?
Me estoy acercando a una zona peligrosa. He estado manejando, espero que de forma cercana, el concepto de infinito, pero no he tenido que comparar infinitos. A partir de ahora me va a interesar poder afirmar que dos infinitos poseen igual número de elementos o no, y para ello necesito una herramienta que me permita hacer esa comparación.
La herramienta que vamos a usar es el concepto de aplicación biyectiva. Le pongo tres ejemplos
Veamos las 3 parejas de conjuntos anteriores. Es fácil ver que A posee más elementos que B, que C posee menos elementos que D, y que E y F poseen el mismo número de elementos. Lo ha visto sin haberlos contado. En este caso ha sido muy fácil porque los elementos son pocos y están muy ordenados, pero y si no fuera así? por ejemplo, ¿Cuál de los dos nuevos conjuntos posee más elementos?
Usted dirá, pues los cuento. Vale, se lo compro para conjuntos finitos, y por cierto, G posee 35 y H posee 36 elementos, pero el problema es cuando son infinitos ¿de qué forma los va a contar?
Necesitamos una herramienta que nos permita comparar el número de elementos, no hace falta que los cuente, y esta herramienta es la aplicación biyectiva. Veamos de nuevo el ejemplo de las 3 parejas de conjuntos.
Imaginemos que, a modo de Cupidos modernos, vamos a enlazar con flechas cada elemento del primer conjunto con cada elemento del segundo siguiendo una regla muy sencilla que dice que: de cada elemento del primer elemento sólo puede partir una flecha, y a cada elemento del segundo sólo puede llegarle una.
Bajo estas premisas, el conjunto A posee más elementos que B, ya que en A se han quedado elementos sin flechas (no han podido salir de A porque los objetivos de B ya estaban todos cubiertos). Igualmente, D posee más elementos que C, ya que todas las flechas de C están lanzadas, pero hay elementos de C sin flechas. Sin embargo, E y F poseen el mismo número de elementos, ya que de cada elemento de E sale una única flecha que impacta en un único elemento de F, y ni E ni F tienen elementos sin flechas ni elementos con más de una; por cada elemento de E hay un sólo elemento de F.
Nótese que en este razonamiento no he tenido que contar cuántos elementos había en A, B, C, D, E o F, tan sólo ver si quedaban flechas por colocar. De hecho, el objetivo no es contar cuantos elementos hay en cada conjunto, sino si hay el mismo número de elementos en cada uno, y ya tengo mi herramienta.
Si soy capaz de establecer una correspondencia entre dos conjuntos de manera que de cada uno del primero salga una sola relación que llegue a uno solo del segundo, y que en cada uno del segundo impacte una sola relación, de manera que en ambos conjuntos no queden ni elementos libres ni elementos con más de una relación, se deduce que ambos conjuntos poseen el mismo número de elementos.
Esta va a ser nuestra herramienta para comparar conjuntos, que queden o no flechas por poner en el primer o segundo conjunto. En matemáticas, a este tipo de relaciones 1:1 se les llama aplicaciones biyectivas o biyecciones.
4. Hay tantos números naturales como números racionales
Este apartado comienza a poseer sentido, ya que por el punto 3 ya podemos comparar el número de elementos que poseen dos conjuntos aunque estos números sean infinitos. Voy a establecer en este apartado que el infinito de los números naturales es igual al de los racionales, o que hay tantos números naturales como racionales.
Me voy a ir acercando a los razonamientos de Cantor. En el apartado 2, al hablar del hotel de Hilbert daba a entender que en un hotel infinito numerable (insisto, mientras no diga lo contrario trabajo con el infinito de los números naturales), podían caber una cantidad infinita numerable de infinitos numerables. Esto es tanto decir que hay tantos números naturales como números racionales.
Vamos a ello. Planteemos una estructura como la siguiente, es infinita en dos dimensiones
En infinitas filas voy a ir poniendo infinitos denominadores como números enteros, lógicamente no puedo tomar el 0 como denominador, y en infinitas columnas, los distintos numeradores como números enteros. Es evidente que hay números repetidos, y por ejemplo $\frac{2}{4}$ es igual que $\frac{1}{2}$ o $\frac{-1}{-2}$. En realidad, las repeticiones son infinitas y cada número va a estar repetido infinitas veces, pero lo más importante es que todos los números racionales están contenidos en esta estructura (dando por hecho que se complete). ¿Correcto? Todas las fracciones, por raras que sean estarán en esta tabla, infinitas veces, por lo que en la estructura anterior están todos los números racionales, ${\mathbb Q}$.
Pues vamos a establecer una biyección entre los números racionales y los naturales; si puedo encontrar una relación de manera que a cada número natural se le asigne un número racional, de manera que no sobren ni falten flechas en cada uno de los dos conjuntos, habrá que concluir que poseen el mismo número de elementos. Pues la tenemos bajo estas líneas.
Para empezar esa biyección, parto (por ejemplo) del $0$, $\frac{0}{0}$, y voy recorriendo todos los números racionales siguiendo una especie de espiral. Es evidente que a medida que se van dando vueltas y vueltas a esta espiral se van tomando números racionales más extraños, pero el hecho es que con esta forma de razonar obtenemos dos cosas:
- La espiral, al completarse, recorre todos los números racionales.
- La espiral es numerable; posee un orden, y al 0 le asigna el $\frac{0}{1}$, al $1$ le asigna el $\frac{1}{1}$, al 2 le asigna el $\frac{1}{-1}$, por ejemplo al 23 le asigna el $\frac{1}{3}$, etc.
Y con ello ya hemos construido la biyección que asocia a cada número natural su número racional; hemos tomado una estructura de dos dimensiones y la hemos cubierto entera con una cuerda retorcida de sólo una, de manera que cada número natural tiene asociado un sólo número racional, cada número racional tiene asociado un solo número natural, y no hay números naturales ni racionales que asignar.
Es cierto que puede decirse que no es una biyección 1:1, ya que por ejemplo le llega una flecha al $\frac{1}{2}$ y otra al $\frac{2}{4}$, por lo que al 0'5 le llegan al menos 2 flechas (en realidad infinitas). Técnicamente se lo compro, pero veámoslo de la siguiente manera, si en el cuadrado infinito anterior, que posee a todos los números racionales, infinitas veces, y posee muchos más números que los racionales hay tantos números como en los números naturales, en solo los racionales, también.
De otra forma, a partir de ir recorriendo la espiral, si un número racional ya estaba contado, pues lo quita y se lo salta. La espiral sigue teniendo el infinito de los naturales; primera coincidencia el 0, segunda el 1, tercera el 2... y ahora solo se recorrerían los números racionales una vez.
No puedo decir que los números naturales son los números racionales, pero sí que el infinito de los números naturales coincide con el de los racionales, o que hay tantos números naturales como racionales aunque sean conjuntos distintos; de otra forma, no hay más números racionales que naturales.
Como comentarios finales.
- Intentaré establecer al final de la entrada la función $f(n)$ que en la imagen anterior asigna a cada número natural un número racional.
- En los números naturales es cuestión de criterio que el primer elemento sea el 0 o el 1. En su fundamentación axiomática es cuestión de elección decidir quién es el primer elemento. A mí me gusta más el 0 como primer número natural, pero puede ser perfectamente el 1.
- Con este algoritmo en espiral podríamos hacer hueco a los infinitos pasajeros de infinitos trenes (siempre numerables) que de repente llegaran a los andenes para entrar en el ocupado hotel de Hilbert. Por esto yo decía que la paradoja del hotel de Hilbert no se basaba en la estructura del hotel, sino en esta propiedad que nos dice que hay tantos números naturales como números racionales (esto sí parece paradójico).
¿Dispuesto para seguir?
5 - Al menos hay 2 infinitos distintos
Ya hemos visto que en conjuntos infinitos suceden cosas muy raras y no tiene por qué cumplirse que subconjuntos del total tengan necesariamente menor número de elementos que el total. Hemos visto también una herramienta de comparación de conjuntos que funciona también con conjuntos infinitos y que nos dice que el infinito de los números naturales es el mismo que el de los racionales. Surge entonces una pregunta ¿todos los infinitos son iguales? La respuesta es no.
Este apartado va a ser más técnico que los anteriores, ya que voy a demostrar con las mismas demostraciones de Cantor en 1873 de que hay un infinito distinto al de los números racionales, lo cual a él se supuso todo un shock al ser algo que si no contradecía, desafiaba la matemática anterior a él. De hecho Cantor acabó sus días en un hospital psiquiátrico. ¿Sabía usted que había más de un infinito? Yo, sinceramente no antes de verlo en la facultad.
Como digo, va a ser un apartado muy técnico (extraído de mi temario de oposiciones) pero interesante, especialmente a docentes o estudiantes de matemáticas. No pasa nada por irse al final del apartado, pero quizás se habrá perdido lo mejor.
5.1. Justificación teórica
Por hacer la entrada lo más amena posible, voy a sacar la justificación del cuerpo principal de la misma, si bien en ella hablo de algunos conceptos como el cardinal o la potencia que mencionaré más tarde. Aquí tiene la citada justificación.
Ya hemos pasado por lo más técnico de esta entrada, además de que he podido escribir esa parte técnica de forma rigurosa en $\LaTeX$, el procesador de textos matemático por excelencia.
Pues ya está la cruda verdad; el infinito de los números reales es mayor que el infinito de los números racionales.
Por cierto, al infinito de los números naturales se le llama infinito numerable (se pueden enumerar; 1, 2, 3, 4, etc). Es el único infinito con ese nombre, el resto de ellos se consideran no numerables.
5.2. Dos buenos ejemplos para comprenderlo mejor
Como decía al principio, a mis alumnos de cursos superiores me gusta hablarles de los distintos infinitos por medio de ideas sencillas. Ciertamente, no es tan difícil de asimilar que hay muchos más números irracionales que racionales si tiramos de ciertos ejemplos.
5.2.1. El método diagonal de Cantor
Supongamos, vamos a hacer una reducción al absurdo, que en el conjunto ${\mathbb N}$ de los números naturales hay tantos números como reales hay en el intervalo $(0,1)$. Esto es, que los números reales del intervalo $(0,1)$ son numerables.
Escribamos entonces en una tabla todos los números reales en el intervalo $(0,1)$, que estamos suponiendo (hipótesis del absurdo) que se pueden numerar , quedando algo así como:
Tomemos ahora todos los elementos de esa tabla infinita numerable y hacemos lo siguiente:
- Al primer número le tomo la primera cifra, las décimas, y le sumo 1. Por ejemplo, si la cifra de las décimas era 7, ahora considero el 8.
- Al segundo número le tomo la segunda cifra, centésimas, y a esa cifra le sumo 1. Si por ejemplo las centésimas era 5, ahora es 6.
- Al tercer número le tomo la tercera cifra, la de las milésimas, y le sumo 1. Si por ejemplo las milésimas era 9, ahora es 0.
- Al cuarto número le tomo la cuarta cifra, las diezmilésimas, y le sumo 1. Si por ejemplo al cifra de las diezmilésimas era 4, ahora es 5.
- Sigo indefinidamente con todos los números de la tabla
Si ahora construyo, cifra a cifra, el número obtenido con las sumas de 1 a las diferentes cifras (el 0'8605... de mi ejemplo). Este número tiene una propiedad, y es que difiere en al menos una cifra con todos los números de la tabla. Por ejemplo, difiere del primero en la primera cifra, difiere del segundo en la segunda, del tercero en la tercera...
Por eso, el nuevo número formado no está en la tabla de todos los números decimales en $(0,1)$ , o sea, quedaban números por poner en la tabla, y eso es una contradicción con que la tabla poseía todos los números ya que estos eran numerables. La contradicción parte de haber asumido la numerabilidad, y la conclusión es que los números del intervalo $(0,1)$ no son numerables.
5.2.2. La lotería afortunada
Imaginemos que tenemos una lotería para generar números reales. La lotería tiene 10 bolas, del 0 al 9, todas igual de probables, y cada vez que extraemos una bola la volvemos a introducir para un nuevo sorteo e ir recorriendo las décimas, centésimas, milésimas.... Vamos a centrarnos solo en las cifras decimales. Por ejemplo, sale el 7, volvemos a introducir esta bola y ahora sale un 3, volvemos a introducir esta bola y ahora sale un 4, volvemos a introducirla y ahora vuelve a salir un 3, y así sucesivamente, y vamos construyendo las infinitas cifras decimales de un número, en este caso $'7343\cdots$.
Yo le pregunto; En esta situación ¿Qué es lo habitual? ¿Sacar cifras completamente aleatorias que no se repitan nunca o sacar cifras con un patrón claro como $'000000000$ o $'1313131313\cdots$ infinitas veces?
En este ejemplo de la lotería, sacar un número racional o un número con un patrón de cifras decimales que se repiten hasta el infinito es un auténtico milagro. Existen los números racionales y con el ejemplo de la lotería tienen el derecho a salir y de hecho saldrán; un 1, otro 1, otro 1, otro 1, otro 1... así infinitas veces hasta formar el $'1111\cdots=\frac{1}{9}$, pero como digo, los números racionales, que poseen un patrón determinado e infinito de cifras representan un milagro. Lo habitual es que al hacer infinitas extracciones no haya ningún tipo de repetición, y por ello los números irracionales son mucho más frecuentes que los racionales.
Eso sí, aunque los números racionales son los que de verdad llenan la recta real, ${\mathbb Q}$ es denso en ${\mathbb R}$, esto es, cualquier número real irracional estará muy cerca de infinitos números racionales, de forma que es posible acercarnos a ese irracional todo lo que queramos dando saltos sobre números racionales de modo que cada vez la distancia sea menor, de forma parecida a una piedra plana que se tira sobre el mar y va rebotando cada vez con saltos más pequeños.
También, entre dos irracionales hay siempre un número racional (en realidad infinitos), entre dos números racionales existe siempre un número irracional (infinitos), no hay dos números reales consecutivos... Ciertamente, cuanto más reflexiono sobre la recta real más me sorprende su estructura. Kronecker (por cierto, uno de los profesores de Cantor) llegó a decir: "Dios hizo los números naturales, el resto es cosa del hombre". Sinceramente dudo que al hombre se le hubiese ocurrido algo tan bello como enrevesado, y disculpo a Cantor si quedó algo tocado.
5.3. Algunas consecuencias sorprendentes
Como decía, ya hemos pasado por el momento más duro. Ya sabemos que el infinito de los números racionales es inferior al infinito de los números reales. Vamos a ver algunos hechos muy curiosos del infinito no numerable de los números reales.
5.3.1. En un intervalo, por pequeño que sea, hay tantos números como en el intervalo (0,1)
En efecto. Sea $a$ un número muy, muy, muy pequeño. Considero el intervalo $(0,a)$, muy pequeño, y considero la biyección $$f(x)=\frac{x}{a}$$
Esta biyección transforma de manera única cualquier punto del intervalo $(0,a)$ en el intervalo $(0,1)$, por lo que es obligado concluir que en ambos intervalos hay el mismo número de puntos, infinitos.
5.3.2. En el intervalo (0,1) hay tantos números como en la recta real
Para ello hemos de construir una aplicación biyectiva entre el intervalo $(0,1)$ y la recta real. Pues me basta considerar $$f(x)=\tan(\pi x-\frac{\pi}{2})$$
Así, a cada punto del intervalo $(0,1)$ se le asigna un solo punto de la recta real y viceversa, por lo que hay que concluir que en el intervalo $(0,1)$ hay tantos puntos como en toda la recta real (que posee una cantidad numerable de intervalos como el $(0,1)$)
5.3.3. En un intervalo, por pequeño que sea, hay tantos números como en la recta real
Es consecuencia directa de lo afirmado en los apartados 5.3.1 y 5.3.2. Si en un intervalo, por pequeño que sea, hay tantos puntos como en el intervalo $(0,1)$, y en éste hay tantos puntos como en toda la recta real, en un intervalo, por pequeño que sea, hay tantos puntos como en toda la recta real.
Y si el resultado le parece fascinante, vamos más allá
5.3.4. Hay tantos puntos en la recta como en el plano real
De nuevo, se trata de establecer una biyección entre la recta y el plano real. Voy a dar dos soluciones distintas al problema.
5.3.4.1. Intercalando
Supongamos que puedo demostrar que hay una biyección entre el intervalo $(0,1)$ y el cuadrado $(0,1)\times (0,1)$. Entonces podría hacer lo mismo con el intervalo $(0,2)$ y $(0,2)\times(0,2)$, con $(-10,10)$ y $(-10,10)\times(-10,10)$, y al final, tomando intervalos y cuadrados cada vez más grandes, alcanzar toda la recta y todo el plano, llegando a la biyección entre ${\mathbb R}$ y ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$.
Por ello, el objetivo sería conseguir una biyección entre el intervalo $(0,1)$ y $(0,1)\times(0,1)$. Hagamos lo siguiente:
- Consideremos un número decimal del intervalo $(0,1)$.
- Este número es: $0'a_1\,b_1\,a_2\,b_2\,a_3\,b_3\,a_4\,b_4\,a_5\,b_5\,a_6\,b_6\,a_7\,b_7\cdots$
- Esto es, denoto con dos sucesiones $a_n$ las cifras impares y $b_n$ las cifras pares
- Entonces, a dicho número del intervalo $(0,1)$ le asocio el punto de $(0,1)\times(0,1)$ siguiente:
$$0'a_1\,b_1\,a_2\,b_2\,a_3\,b_3\,a_4\,b_4\cdots\longmapsto(0'a_1\,a_2\,a_3\,a_4\cdots\;,\;0'b_1\,b_2\,b_3\,b_4\cdots)$$
Por ejemplo, tendríamos las siguientes asignaciones
- $0'1212121212\mapsto (0'11111\cdots\,,\,0'2222\cdots)$
- $0'51=0'5100000000\mapsto (0'5000\cdots\,,\,0'1000\cdots)$
- $0'1415926535\mapsto (0'11963\cdots\,,\,0'45255\cdots)$
Con esta forma de trabajar parece que conseguiríamos la buscada biyección, ya que aparentemente a cada número del intervalo $(0,1)$ lo asignaría de manera única a un punto del cuadrado $(0,1)\times (0,1)$, pero no es así, ya que por ejemplo al $0'5$ que es el $0'50$ lo asignaría al punto $(0'5\,,\,0'0)=(0'5\,0\,0)$ que no está en $(0'1)\times(0,1)$ sino en $(0,1)\times[0,1)$ ya que el $0$ no está en $(0,1)$, necesita al $[0,1)$.
(Quiero hacer un comentario a esto, pero no quiero pararme aquí, lo cuento al final en el apartado 9.2. de apéndices.)
En cuanto lo de la unicidad de las asignaciones, si salvamos lo anterior, es evidente que a cada punto de $(0,1)$ lo va a mandar a un único punto de dos dimensiones, y que un único punto de dos dimensiones procede de un único punto de una dimensión, luego podría funcionar la biyección anterior.
Funcione o o funcione la biyección (tengo un plan B), con esta forma de intercalar no parece tan extraño que una dimensión, $(0,1)$ pueda ser equiparable a dos, $(0,1)\times(0,1)$
5.3.4.2. Curvas de Peano y Hilbert
Vamos a hacer otro enfoque distinto. Está la geometría fractal, que es sencillamente apasionante (cuando pueda le dedicaré una entrada) y está rellena de monstruos. Le cuento algunos ejemplos; si la recta tiene una dimensión y el plano dos, existen superficies con dimensiones entre 1 y 2 (de hecho fractal viene de fractus, que significa partido), por citar algunos ejemplos, o superficies con perímetro infinito pero área finita, o curvas que recubren todo el plano.
La primera en aparecer, 1890, fue la curva de Peano (pongo sus 3 primeras iteraciones, imagen extraída de Wikipedia). Aunque se aprecia la idea de la misma, sustituir cada uno de esos pseudorectángulos por una estructura más compleja, no tiene un esquema claro de construcción
A medida que voy haciendo iteraciones, la curva (en realidad no tiene ningún tramo curvo) va cubriendo todo el plano, y de hecho, la dimensión de Hausdorff de la misma es 2 (la misma que la del plano, ya que lo acaba cubriendo).
Una vez que se abrió la veda, vinieron más "curvas" de estas que cubren todo el plano. Cito por ejemplo, 1891, la curva de Hilbert (sí, el mismo del Hotel), de la cual doy 6 iteraciones (extraído de Wikipedia)
Aquí si hay un procedimiento de construcción. En cada iteración se toma un cuadrado y se divide en otros 4 cuadrados, y se unen sus centros de manera continua formando un pseudocuadrado. Cada uno de los 4 cuadrados anteriores se vuelve a dividir en 4 cuadrados, se toman sus centros y se unen de manera continua.
Es fácil ver que la longitud de la curva va creciendo en cada iteración, hasta hacerse infinita, y las curvas de Peano y Hilbert son un ejemplo de que se puede encontrar una aplicación biyectiva que asocie a cada punto de una recta, la curva estirada, todo el plano, pudiendo afirmarse que en ${\mathbb R}$ hay tantos puntos como en ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$
5.3.5. En la recta real hay tantos puntos como en todo ${\mathbb R}^n$, para $n$ finito y grande
Es muy fácil a partir del apartado anterior 5.3.4. Por ejemplo, en ${\mathbb R}^3$ hay tantos puntos como en ${\mathbb R}\times{\mathbb R}\times{\mathbb R}$, pero el apartado 5.2.4 me dice que en ${\mathbb R}\times{\mathbb R}$ hay tantos puntos como en ${\mathbb R}$, por lo que en ${\mathbb R}^3=({\mathbb R}\times{\mathbb R})\times{\mathbb R}$ hay tantos puntos como en $({\mathbb R})\times{\mathbb R}$ que a su vez posee tantos puntos como en ${\mathbb R}$.
No importa lo grande que sea $n$, en un proceso recurrente finito se cumple que ${\mathbb R}^n$ posee tantos puntos como ${\mathbb R}$.
5.3.6. En cualquier intervalo de ${\mathbb R}$, por pequeño que sea, hay tantos puntos como en todo ${\mathbb R}^n$, para $n$ finito y grande
Es evidente a partir de los apartados 5.3.3 y 5.3.5. Si en un intervalo, por pequeño que sea, hay tantos puntos como en toda la recta real, y en ésta hay tantos puntos como en todo ${\mathbb R}^n$ es fácil ver porqué el bueno de George Cantor acabó tan sorprendido.
6 - La hipótesis del continuo
Vamos a ir acabando la entrada. Ya sabemos que hay dos infinitos distintos, $\aleph_0$ y $\aleph_1$. Parece claro que $\aleph_0$ es el infinito más pequeño que hay, el asociado a los números racionales. La pregunta es... ¿hay algún infinito entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$? Esto es, uno que sea mayor que el de los racionales pero menor que el de los números reales.
La hipótesis del continuo afirma que no hay ningún conjunto $A$ de modo que su cardinal $|A|$ cumpla $$\aleph_0<|A|<2^{\aleph_0}$$.
Admitiendo el axioma de elección todo conjunto sería bien ordenable, $\aleph_1=2^{\aleph_0}$, y entonces la hipótesis del continuo quedaría como que no existe ningún conjunto $A$ cuyo cardinal cumple
$$\aleph_0<|A|<\aleph_1$$
El sentido común sugiere que podría ser cierta; los números racionales poseen estructura matemática de cuerpo, es el cuerpo de números más pequeño, y el siguiente cuerpo es el de los números reales. Como cada uno de estos dos conjuntos posee su infinito, parecería que la hipótesis del continuo debería ser cierta.
Pero es la hipótesis del continuo y no el teorema del continuo porque no es una cuestión tan sencilla de determinar. De hecho fue la primera parte del primero de los 23 problemas que Hilbert, el mismo del hotel de las infinitas habitaciones, lanzó a la sociedad matemática en el congreso de París de 1900 tras los infructuosos intentos de probarlo por parte de Cantor, que creía firmemente en él. Desde entonces, ¿Qué sabemos?
- En 1938 Kurt Gödel demostró que si la teoría de conjuntos es consistente (no
implica contradicción), también es consistente la teoría de conjuntos junto con la
hipótesis del continuo.
- En 1953 Paul Joseph Cohen demostró que si la teoría de conjuntos es
consistente, también es consistente la teoría de conjuntos junto con la negación de
la hipótesis del continuo.
En consecuencia, se puede aceptar o negar la hipótesis del continuo sin por ello llegar a
contradicción. Este hecho se expresa diciendo que la hipótesis del continuo es indecidible en
la teoría de conjuntos y por ello puede ser cierta o falsa. Puede que exista algún conjunto con infinitos elementos entre $\aleph_0$ y $2^{\aleph_0}$ o puede que no.
Existe una hipótesis del continuo generalizada que afirma que dado cualquier conjunto infinito $A$, no existe ningún conjunto $B$ de modo que $$|A|<|B|<2^{|A|}$$.
Ciertamente no son cuestiones fáciles de determinar, ya que están relacionadas con la fundamentación de las matemáticas, axioma de elección...
7 - ¿Cuántos infinitos hay?
Pues como no puede ser de otra forma, hay infinitos infinitos. Debido a la propiedad de
$$pot(A)<pot(\wp(A))$$
se tendría:
$$pot({\mathbb N})<pot(\wp({\mathbb N}))<pot(\wp(wp({\mathbb N}))<pot( \wp(\wp(\wp({\mathbb N})))<\cdots $$
Otra cuestión es si por argumentos similares a las hipótesis del continuo pudiera a su vez haber infinitos intermedios, pero es evidente que el número de infinitos es a su vez infinito, ya que la propiedad anterior es una máquina de producir infinitos, así hasta el infinito (y más allá como diría aquel).
Podría alargar la entrada más, por ejemplo intentando explicar noticias como la siguiente
Pero no le voy a engañar, en el camino al infinito mi comprensión no da para mucho más, por lo que prefiero dejarlo aquí. Creo que he conseguido llevarle con claridad a la complejidad y grandiosidad del concepto infinito. A mí, ciertamente, me ha gustado recordar tiempos de la universidad y su asignatura Álgebra II en la facultad de Matemáticas de la Universidad de Sevilla. Espero que nunca vea ya al bueno de $\infty$ de la misma manera, $\omega_0$ y $\aleph_0$ siguen mereciendo su respeto.
8 - Aritmética transfinita
Una vez que hemos visto que hay al menos dos infinitos, vamos a hablar de la aritmética transfinita. Tenemos dos infinitos distintos, el de los números naturales y el de los números reales. Llamémoslos $\aleph_0$ y $\aleph_1$ (estoy asumiendo el axioma de elección). Estos dos números son cardinales o cantidades; hay $\aleph_0$ números naturales, y $\aleph_1$ números reales.
Me voy a centrar ahora en los ordinales, que al principio dije que representaban una posición. Vuelvo al ejemplo de la mosca, en el que hablaba del primer giro, el segundo, el tercero... hasta que el ciclista llegó a la meta y la mosca dio el giro que ocupaba la posición infinita.
A este último giro podríamos llamarlo como el giro infinito, pero como dije, para no usar $\infty$, que ya no es único, al infinito ordinal de los números naturales se le llama $\omega$ u $\omega_0$, y al infinito ordinal de los números reales se le llama $\omega_1$.
Pues creo recordar de la carrera de matemáticas que se podían hacer operaciones con números transfinitos como sumas y multiplicaciones por números, siempre que se cumpla una regla; todo lo que sea menor que un determinado transfinito a la izquierda de éste se pierde. Pongo algunos ejemplos.
- $\omega+1=\omega+1$; después de que la mosca de infinitas vueltas, puede dar más vueltas
- $1+\omega=\omega$; si tras dar una vuelta la mosca da infinitas, en definitiva da infinitas, no importa lo que haya hecho antes que sea finito
- $\omega+\omega=2\omega$
- $\omega+2+\omega+3=2\omega+3$
- $\omega+\omega^2=\omega^2$
- $\omega^2+\omega=\omega^2+\omega$
- $\omega_0+\omega_1=\omega_1$
- $\omega_1+\omega_0=\omega_1+\omega_0$
Creo que la idea queda clara. Este tipo de razonamientos son válidos en matemática transfinita; los infinitos pueden tratarse como números, pero absorben a los infinitos o números menores a su izquierda.
9. Apéndices
9.1. La distancia recorrida por la mosca del apartado 1
En la introducción le propuse calcular la distancia total que recorría la mosca en toda esta peripecia. Podría plantear una serie infinita que a la postre fuera convergente, pero en realidad es más sencillo; si las dos ciudades están separadas $10\,km$, y el ciclista en una hora recorre justamente esa distancia, como la mosca va justamente al doble de velocidad que el ciclista, $20\,km/h$, en el mismo tiempo del ciclista, $1\,h$, recorrerá justamente el doble de la distancia, $20\,km$.
9.2. Intervalos abiertos y cerrados; la diferencia de tener o no primer punto
En el apartado 5.3.4.1 hablaba de un intento de biyección para probar que hay tantos puntos en $(0,1)$ como en $(0,1)\times(0,1)$, y encontré que existía una opción de aplicación biyectiva que consistía en separar los decimales pares de los impares, y mandar los decimales impares al eje $X$ y los pares al eje $Y$, y por ejemplo:
- $0'1212121212\cdots\longmapsto(0'1111\cdots,0'2222\cdots)$
- $0'7182818284\cdots\longmapsto(0'7888\cdots\,,\,0'1212\cdots)$
- $0'3333333333\cdots\longmapsto(0'3333\cdots\,,\,0'3333\cdots)$
Pero que con esa forma de razonar, había un problema con números como $0'5=0'5000\cdots$, que mandaría al $(0'5\,,\,0'0)=(0'5\,,\,0)$ que no pertenece al $(0,1)\times(0,1)$ sino al $(0,1)\times[0,1)$.
¿Es esto tan malo? Seguramente para el establecimiento de la función biyectiva que pruebe la equicardinalidad no, ya que este problema sólo nos va a suceder en del $0'1$ al $0'9$, 9 puntos, por lo que no le demos más importancia.
Pero a donde quiero ir en este apartado y que se sale de los contenidos principales de esta entrada es ¿tan distintos son los intervalos abiertos y cerrados? Porque a fin de cuentas $(0,1)$ y $[0,1)$ solo se separan en un punto.
Pues sí. Topológicamente ambos conjuntos son muy distintos, y por lo pronto, $[0\cdots$ posee un primer elemento, el $0$, mientras $(0\cdots$ no tiene primer elemento. Me puedo acercar todo lo que quiera a su ínfimo, el $0$, pero no voy a llegar porque no hay primer elemento. El $[0\cdots$ sí posee primer elemento, el $0$ y sí se alcanza
Ser abierto o cerrado es ciertamente muy distinto; se poseen propiedades muy distintas por tener un punto más o no
$San\;Fernand\omega$
Febrero de 2025
No hay comentarios:
Publicar un comentario