El examen resuelto PAU 2023 de Matemáticas 2 de Andalucía - Consejos para preparar la prueba

(En esta entrada doy las soluciones al polémico examen de MAT2 de la prueba de acceso a la universidad, EBAU,  PEVAU... Selectividad de Andalucía 2023, y doy algunos consejos para preparar la prueba)

1 - Introducción

    El 14 de junio de 2023, hace nada, dentro de las pruebas de acceso a la universidad de Andalucía, de 8:30 a 10:00 se realizó la prueba de matemáticas 2. Ciertamente, en general a los alumnos les salió mal el examen, y se corrió la opinión de que éste había sido muy difícil, que algunos ejercicios eran de nivel de facultad y que incluso, llegué a escuchar en un programa de radio de difusión nacional, había podido ser el examen de selectividad más difícil de toda España de toda la historia.

    Ciertamente, para mí como docente fue frustrante que en general a mis alumnos, que iban bien preparados, no les saliera bien, y es cierto que cuando el representante de mi centro, a la media hora de empezar la prueba saliera de la sala y me lo enseñara, en una primera impresión no me gustó nada el examen. Ahora bien ¿era para tanto? sinceramente creo que no

2 - El examen

    Por no dilatarlo más y para que usted tenga conocimiento de causa, aquí está el original del examen, eso sí, un poco arrugado, así como el examen resuelto por mí (seguramente el motivo por el que usted ha acudido a esta entrada)

Acceso al planteamiento del examen

Acceso al examen resuelto

    Si le gusta esta forma de resolver ejercicios, en las carpetas de los distintos cursos de bachillerato de mi blog, en los PDF de ejercicios y problemas de cada uno de los temas hay más ejercicios resueltos.

3 - Mi opinión como docente del examen

    Como digo, sinceramente pienso que no es para tanto el revuelo que se ha formado con este examen, y que por ejemplo el examen de este año de matemáticas de ciencias sociales, MCS, sí ha sido mucho más difícil de aquello a lo que normalmente se ha puesto en Andalucía (un recinto con 3 vértices racionales, una pregunta de análisis matemático para trabajar a partir de una función derivada y 2 preguntas de probabilidad cuando menos raras...), pero el de MAT2 para nada ha sido tan difícil, y lo dice un docente en matemáticas que es licenciado en matemáticas y con 20 años de experiencia como docente.

    Con esto, y aunque yo diga que mis alumnos estaban ido bien preparados y en general no les saliera bien no quiero justificarme. También estoy haciendo autocrítica y hay aspectos que cambiaré para el curso siguiente porque seguramente no he atinado, y como digo, al tener por primera vez el examen en mis manos e irlo viendo pregunta por pregunta no me gustó y ya me temía el desastre (aunque no tanto).

    Supongo que muchos docentes estarán de acuerdo con el análisis que voy a hacer, y los alumnos, especialmente los que han firmado la petición, no tanto.

Bloque de análisis - cálculo diferencial.

• Las dos primeras preguntas eran esperadas. En la primera se pide estudiar crecimiento, decrecimiento, extremos relativos... es cierto que la función $\frac{1}{e^{x}+e^{-x}}$ puede dar problemas a la hora de derivar y resolver, pero fácil ver que la función $e^{x}+e^{-x}$ es par, y se comporta de forma parecida a una parábola convexa, por lo que al hacer su inversa lo que es su mínimo se va a convertir en máximo, y lo que en los infinitos es infinito, al invertir va a dar cero, además de que su imagen es positiva. A partir de saber dibujarla el resto de apartados no debería dar más problemas.
• La segunda pregunta igual despista con lo del $(-2,f(-2))$ y $(2,f(2))$, pero los alumnos de segundo de bachillerato deben saber que dados dos puntos del plano y la recta que los une, calcular en qué punto la tangente a la función es paralela a esa recta es tan sencillo como resolver $f'(x)=2$; y si los alumnos no lo sabían, el fallo de su profesor fue no haber insistido en ello. Si lo anterior no lo habían comprendido, supongo que el resto del ejercicio era un imposible.

    Echo en falta, mis alumnos también, que hubiera un ejercicio con la regla de L'Hôpital como ejercicio principal, o de derivabilidad, aunque entiendo que este bloque es tan amplio que no se puede preguntar de todo

Bloque de análisis - cálculo integral

• La tercera pregunta tiene la dificultad del valor absoluto. No hay primitiva de un valor absoluto, sino que la función valor absoluto se divide en dos funciones a trozos, y a partir de ahí se hace un estudio para comprender de qué manera interaccionan las dos partes del valor absoluto y la tangente que va de añadido. No lo considero tampoco un ejercicio fuera de lo esperado.
• La cuarta pregunta es curiosa. No sé si algunos se refieren a esta como la pregunta de nivel de facultad. Los dos Teoremas Fundamentales del Cálculo Integral forman parte en los contenidos de segundo de bachillerato de Ciencias, y más de una vez han caído. Es más, a mis alumnos les digo que las preguntas relacionadas con el Primer Teorema suelen ser preguntas muy sencillas, y que justificar que dicho resultado puede ser aplicado consiste en justificar una continuidad. No sé, tenía el presentimiento de que este año podía caer una de estas preguntas y habíamos hecho varias en clase. Lo que sí me ha sorprendido es que se combine con una regla de L´Hôpital. Ciertamente, al verlo sabía que pocos lo harían, aunque fuese sencillo, y la verdad es que no me gusta que la parte principal de un ejercicio de integrales haya sido un ejercicio de derivadas (L'Hôpital), siendo más bien secundario lo del Primer teorema Fundamental del Cálculo. Aquí creo que no fue acertada la elección por esta mezcla.

Bloque de álgebra

• De su primera pregunta no voy a decir mucho. Es una pregunta que se podría resolver perfectamente en 4ºESO (o incluso en 3ºESO), y si el tema es que los alumnos de segundo de ciencias no saben calcular porcentajes, mal asunto. Yo reconozco que no los he trabajado nada este curso porque los supongo contenidos muy elementales para la asignatura MAT2, pero por si acaso el curso que viene dedicaré un par de sesiones a repasar contenidos elementales de secundaria (porcentajes, sucesiones y progresiones, inecuaciones...). A pesar de la innegable facilidad del ejercicio, no entiendo mucho que este ejercicio relacionado con pinzas con las matrices apareciera en lugar de un ejercicio en el que aplicar un teorema de Rouché-Fröbenius, usar las propiedades de los determinantes o calcular una matriz elevada a $2023$. Aunque estas preguntas, fáciles, han caído alguna vez, al alumnado le hubiera ido mucho mejor con una pregunta más difícil pero esperada.
• Da la segunda pregunta, entiendo que no hay mucho que decir. Estudiar cuando una matriz posee inversa, o resolver una ecuación matricial sí es algo esperado. Que la ecuación matricial dependa de un parámetro $m$ es novedoso, pero entiendo que si saben hacerlo sin parámetro, con parámetro también.

Bloque de Geometría

• La primera pregunta es tan asequible como esperada. El alumnado debe saber construir el plano perpendicular a un vector que pasa por un punto medio, calcular los puntos de corte con los ejes coordenados, construir 2 vectores de 3 puntos y hacer un producto vectorial para calcular el área de un triángulo.
• La segunda pregunta tampoco debería haber dado más problemas; usar la fórmula de la distancia punto-recta para calcular una distancia (no es necesario construir perpendiculares ni nada, sólo usar esa fórmula), o calcular el área de un triángulo del que de partida se conocen sus tres vértices entiendo que  no debería haber dado problemas.

Reflexión personal acerca de la prueba

    Esa es mi impresión del examen. Ciertamente lo veo asequible y que todo se ha debido ver en clase, al menos mis alumnos lo vieron. Considero la extrema facilidad de la pregunta 5 una complicación más que una ventaja, y ciertamente la pregunta 4 la veo inadecuada al usar una herramienta de otro bloque (la regla de L'Hôpital), pero como docente serio no puedo decir que el examen fuera tan difícil, aunque mis ojos no son los de mis alumnos.

    Supongo que la primera parte, Análisis Matemático, tan apasionante como amplia, se ve al principio de curso en mi instituto, y en mayo queda muy alejada, mientras que la parte de geometría, amplia, pero que consta de poco más de una decena de herramientas (construir vectores, puntos medios, rectas, planos, producto escalar, vectorial, mixto... ) es más fácil de pillar cuando se comprenden sus ladrillos básicos, y además se tiene más fresca.

    Tal vez la parte de Análisis matemático se percibió como más difícil porque se vio hace varios meses atrás. Ello habrá que intentar tenerlo en cuenta en el siguiente punto.

    De todos modos, el que a mí no me pareciera tan difícil no explica ese sentimiento general del alumnado de que sí lo había sido, y he escuchado que la nota media de este examen respecto años anteriores era de un punto y medio inferior.

4 - Propuestas de mejora como docente.

    Todo docente comprometido lo sabe. El examen de PAU es una auténtica p*t*da para los docentes. Yo puedo haberlo dejado todo muy claro en clase y haberme hartado de trabajar por mis alumnos, tanto como para poder decir que mi trabajo ya lo he hecho, y que a partir de ahí les toca a ellos que yo ya he cumplido. Eso es verdad, pero no lo es menos que uno se examina con sus alumnos, si no les va bien lo pasa mal, y si les va bien se alegra, y que como docente también hace reflexión de los resultados. Aquí, en mi ventana, antes de que salgan las notas los voy a poner negro sobre blanco. Como propuestas de mejora para el curso que viene (asumo que también los docentes lo podemos hacer mejor...), están:

• Intentar terminar antes el temario. No basta con terminar a tiempo e intentar repasar tras haber finalizado el curso, sino que debo acabar un par de semanas antes para poder repasar en mayo, con los alumnos en clase, los contenidos de principios de curso como los Teoremas Fundamentales del Cálculo y que los tengan más frescos para apenas un mes después. Es cierto que son malos momentos porque ellos ya están muy agobiados, pero mejor dar algo en clase que nada. 
• En esta línea (aunque ya depende de ellos), intentar que vengan a clase los días previos a la PAU para poder repasar. Consigo que vengan para hacer simulacros de Selectividad y que pregunten dudas, pero igual no es suficiente.
• Dedicar un par de sesiones durante el curso a ver contenidos que se les suponen conocidos (porcentajes, sucesiones y progresiones, inecuaciones...)
• Reducir la optatividad. Entiendo que el que puedan elegir ejercicios es fundamental, y durante todo el curso hacemos ejercicios de Selectividad en los exámenes, ese es el nivel elegido, y siempre hay un par de ejercicios de los que pueden elegir uno, porque entiendo que es importante que sepan distinguir el fácil del difícil. Sí. A veces elegir no es tan sencillo, y eligen uno, y después lo cambian, y vuelven con el primero... El enseñarles a elegir está bien, pero la vida a veces son lentejas (si quieres las comes y si no las dejas), e igual el dar la posibilidad de renunciar a algo en vez de afrontarlo sí o sí no es lo mejor. No sé si me entiende. Para el curso que viene los ejercicios de temas serán sin optatividad, y habrá algo sólo en las recuperaciones. Lentejas.
• Dentro de que todos los ejercicios de los exámenes son de Selectividad de años anteriores, ese es el nivel, aumentar el porcentaje de ejercicios raros y disminuir el porcentaje de ejercicios tipo.
• Insistirles durante todo el curso en cómo preparar el examen (punto siguiente)

5 - Cómo preparar el examen de Selectividad

    Para concluir, y dirigido al alumnado, es muy habitual que mis alumnos me pregunten los días antes del examen acerca de un paso de un ejercicio resuelto por otro docente que se puede encontrar en internet. Mi primer impulso es contestarles "pregúntaselo a él, yo solo puedo responder de mis materiales". Después me río para mis adentros y se lo acabo explicando.

    No me falta parte de razón, y agradezco que haya un sitio en el que ellos puedan encontrar los ejercicios resueltos, ahora bien, mi reflexión es ¿para preparar un examen de Selectividad lo mejor es  ver exámenes y ejercicios completamente resueltos o hacerlos por uno mismo?

    Es muy sencillo; en este mismo blog, en esta entrada el alumnado puede encontrar los ejercicios de al menos los últimos 20 años de las PAU de Andalucía, tanto de MCS2 como de MAT2, separados por bloques de contenidos (Análisis, Álgebra y Geometría) y por años, le doy una muestra del bloque de geometría. Como ve son unos cuantos ejercicios (cada año los actualizo con las 6 pruebas, titulares y reservas, confeccionadas para la convocatoria).

    El tema es que creo que el alumnado abusa de los exámenes resueltos, mientras a conducir se aprende conduciendo (elija otro verbo cualquiera, después daré uno mejor).

    El consejo que les doy es que tomen el documento anterior, ya posee más de 1000 ejercicios, y por ejemplo hoy repase Análisis.

    Comience con el primer ejercicio, léalo con detalle, plantéese qué le están pidiendo, y mentalmente intente enumerar todos los pasos que va tener que a dar al resolverlo. Por ejemplo, en el ejercicio 1 de este examen del 14 de junio, calcular crecimiento y decrecimiento y extremos relativos, haga una reflexión similar a la siguiente; debo derivar $f$, después igualar a cero la derivada, me encuentro con una ecuación a resolver, al resolverla obtengo los puntos críticos, candidatos a extremos. Con esos puntos críticos construyo intervalos, le doy valores a $f'$ en dichos intervalos, donde $f'>0$ la función crece, donde $f'<0$ la función decrece, hago un esquema. Si veo claro los extremos porque la función es continua, genial, si no, hago la derivada segunda y evalúo los puntos críticos en $f''$, si $f''(x_0)<0$, máximo relativo...

    Esto creo que es lo que debe hacer, ir visualizando el problema y prever qué se va a encontrar (esto es además un entrenamiento para discernir si un ejercicio es o no asequible). Y si sabe dar todos los pasos, sencillamente PASE al ejercicio siguiente. De esta manera, puede verse un ejercicio en apenas un minuto, y en poco tiempo ver muchos ejercicios. No tiene, entiendo, mucho sentido hacer ejercicios que se saben hacer y no tener tiempo para intentar hacer los que no se saben hacer.

    Ahora bien, si en el ejercicio siguiente no sabe dar algún paso, si lo ve complicado por el mínimo detalle, entonces INTENTE RESOLVERLO en el papel. Peléese con él. Si no le sale, pues para eso estamos los profesores, me gusta que mis alumnos me manden ejercicios que no les salen; además de ponerme a prueba me dice que están trabajando.

    Este es para mí el procedimiento correcto. Si me dedico a ver problemas que ya están hechos, si me cae uno parecido... pues genial, pero si me cae uno que se salga de mi guion, aunque yo sepa las técnicas que se utilizan, quizás no sepa aplicarlas.

    Por contra, si me dedico a intentar ejercicios, siempre será mejor encontrarme con un ejercicio rebelde una semana antes, tan tranquilo en mi casa, que el día de uno de los primeros exámenes más importantes de mi vida. 

    De esta forma, previsualizando ejercicios, saltando los que sé hacer y atacando los que no, voy a  poder ver muchos ejercicios, y enfrentarme a los que de verdad me pueden dar guerra y aprender a enlazar esas herramientas que debo conocer con los lugares en los que se emplean.

    Leer ejercicios ya resueltos está bien, y es parte del aprendizaje, pero no enseña a resolver ejercicios distintos, sólo partes que ya he visto previamente. A resolver ejercicios se aprende resolviendo ejercicios (este es el verbo que buscaba antes).

    Este consejo lo veo fundamental. Aún así está el tema nervios, necesitar una nota de corte elevada no ayuda... la suerte, o al menos no tener mala suerte, es un asunto fundamental en la vida, pero tampoco podemos obviar que estar bien preparado hace que este factor de la suerte sea menos trascendente.

    Estas son mis reflexiones del malvado examen de hace 3 días. Espero que al compartirlas pueda ayudar tanto a estudiantes como docentes... y el último punto es quizás el más importante de todos; lo hecho hecho está, pero para el futuro... a hacer ejercicios se aprende haciéndolos, no tenga dudas de ello.

San Fernando, Cádiz

17 de junio de 2023