Cómo hallar el Foco y la Directriz de una parábola

 (En esta breve entrada se explica cómo encontrar el foco y la directriz de una parábola a partir de su expresión canónica; es más sencillo de lo que cree).

   Me gusta esta entrada. Me encantan las cónicas, y quitando la parábola, estas figuras están olvidadas en el Sistema Educativo actual. No es que no entren, pero no se dan. En fin. la parábola es una figura geométrica muy especial. Procede de cortar un cono con un plano de manera paralela a su generatriz, y por eso se le llama una cónica.

    Otras cónicas son la circunferencia (el plano es perpendicular al eje del cono), la hipérbola (el plano es paralelo al eje del cono) o la elipse (el plano ni es paralelo al eje, ni perpendicular, ni paralelo a la generatriz).

    Tenemos pues una parábola. Supongo que todos sabemos qué es una parábola; una curva infinita en forma de copa de cava que encierra un área convexa ilimitada y que posee un eje de simetría en el que está su vértice, corte del eje con la parábola.

    Pues esa figura posee un par de propiedades geométricas muy interesantes, y otros elementos además del vértice y el eje como son la directriz y el foco. Veamos qué propiedades tienen y a cómo hallarlos. Lo voy a hacer para una parábola en su forma canónica y de las que nos podemos encontrar en Análisis Matemático; $y=ax^2+bx+c$

    Además de la parábola como una cónica, podríamos definir a la parábola como el conjunto de todos los puntos $P(x,y)$ del plano (a esto se le llama lugar geométrico) que son equidistantes de una recta fija $D$ llamada Directriz, y de un punto $F$ ajeno a la directriz llamado foco.

    Así, en la imagen anterior, coinciden las distancias; $d_1=d_1$, $d_2=d_2$, etc. En la imagen anterior hago también un pequeño (o gran) spoiler... la recta directriz es perpendicular al eje, y el foco se encuentra en el eje, rodeado por la cónica. La definición anterior nos dice que las distancias del foco a los puntos de la parábola y de éstos a la directriz, de forma paralela al eje, son iguales.

        Ahora a partir de esta propiedad, llega el momento de tener una parábola en su forma general, $y=ax^2+bx+c$, y hallar el valor de la Directriz y el foco.

    Por no obligarle a llegar al final (aunque le recomiendo intentar seguir mis razonamientos), tenemos

• Foco; $\displaystyle\left(\frac{-b}{2a},c-\frac{b^2}{4a}+\frac{1}{4a}\right)$
• Directriz; $\displaystyle y=c-\frac{b^2+1}{4a}$  

    Y ahora, mediante dos demostraciones distintas voy a llegar a esas conclusiones

1 -Demostración Primera

    Para mi razonamiento me interesa establecer que dada una parábola $y=ax^2+bx+c$, su vértice está en el punto $$\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2}{4a}\right)$$

    Veamos de donde sale lo anterior (perdón si lo demuestro todo o casi todo, no puedo evitarlo al ser matemático).

Para determinar la coordenada $x$, podemos usar por ejemplo las derivadas. El máximo o mínimo de una parábola (depende de que sea cóncava o convexa) está en su vértice, que es un punto crítico, y por ello $f'(x)=0$, de donde $$\left(ax^2+bx+c=0\right)'=0\iff 2ax+b=0\iff x=\frac{-b}{2a}$$

En cuanto la coordenada $y$, basta con sustitur el valor de $x=\frac{-b}{2a}$ en la parábola 

$$\displaystyle f\left(\frac{-b}{2a}\right)=a\left(\frac{-b}{2a}\right)^2+b\left(\frac{-b}{2a}\right)+c=a\cdot\frac{b^2}{4a^2}-\frac{b^2}{2a}+c=$$

$$\displaystyle =\frac{b^2}{4a}-\frac{b^2}{2a}+c=\frac{b^2}{4a}-\frac{2b^2}{4a}+c=\frac{b^2-2b^2}{4a}+c=c-\frac{b^2}{4a}$$

    Repetimos, dada una parábola $y=ax^2+bx+c$, su vértice está en el punto $$\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2}{4a}\right)$$

Por simplificar, voy a suponer que la parábola es convexa y que su vértice está por encima del eje $OX$. Cuando lleguemos a la solución veremos que esto no es restrictivo.

    Como el vértice está por encima del eje $OX$, exactamente $\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}$ unidades, voy a bajar la parábola esa cantidad, para que el vértice esté justo sobre el eje $OX$. Ello me simplificará los cálculos

    Tengo ahora la parábola:

$$\displaystyle y=ax^2+bx+c\;-\;\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)=ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}$$

    Sé que el foco queda una distancia, llamémosla $d$, por encima del vértice, de modo que la recta $y=-d$ es la directriz (el vértice está a la misma distancia del foco y de la directriz). Por ello, el foco es el punto

$$F\left(\frac{-b}{2a}\;,\;d\right)$$

    Viene ahora el cálculo duro (aunque con el truco de bajar la parábola para que su vértice esté en el eje $OX$ va a ser muy asumible). Como decía, la distancia de cualquier punto de la parábola al foco y a la directriz coinciden.

 Los puntos de la parábola bajada son de la forma $\displaystyle\left(x\;,\;ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}\right)$ 

    Tomo uno de los dos que están a la misma altura que el foco, punto $Q$

    Su altura es precisamente $d$  y su coordenada $\displaystyle x=\frac{-b+ 2\sqrt{ad}}{2a}$

Demostremos la afirmación anterior.

Sea el punto $Q$ uno de los dos puntos de la parábola que posee de segunda componente $d$, esto es, que está a la misma altura que el foco.

Como la parábola la forman los puntos  $\left(x\;,\;ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}\right)$, la coordenada $x$ del punto $Q$ es aquella que cumple: $ax^2+bx+\frac{b^2}{4a}=d$

Para hallar la solución, resuelvo dicha ecuación de segundo grado

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4a\left(\frac{b^2}{4a}-d\right)}}{2a}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-b^2+4ad}}{2a}$$

Esto es:

$$x=\frac{-b\pm\sqrt{4ad}}{2a}=\frac{-b\pm 2\sqrt{ad}}{2a}$$

Teniendo en cuenta que estoy considerando una parábola convexa, $a>0$. Igualmente, $d>0$. Por ello no hay problema con $\sqrt{ad}$ al ser $ad>0$, y la solución $-2\sqrt{ad}$ se corresponde con el punto $P$, la solución con $+2\sqrt{ad}$ con el punto $Q$.

 Ya estamos acabando. Vuelvo a poner la imagen anterior.

    El punto $\displaystyle Q\left(\frac{-b+2\sqrt{ad}}{2a}\,,\,d\right)$ se encuentra a una distancia $D_1$ del foco $\displaystyle F\left(\frac{-b}{2a}\;,\;d\right)$. Se tiene:

$$D_1=\displaystyle \frac{-b+\sqrt{2ad}}{2a}-\left(\frac{-b}{2a}\right)=\frac{2\sqrt{ad}}{2a}=\frac{\sqrt{ad}}{a}$$

    

Por otra, el punto $\displaystyle Q\left(\frac{-b+2\sqrt{ad}}{2a}\,,\,d\right)$ se encuentra a una distancia $D_2$ de la directriz $y=-d$. Es evidente que $D_2=2d$

    Como las distancias $D_1$ y $D_2$ han de ser iguales porque cualquier punto de la parábola equidista del foco y de la directriz, en particular $Q$, se tiene:

$$\frac{\sqrt{ad}}{a}=2d\iff \sqrt{ad}=2ad\iff ad=4a^2d^2\iff 1=4ad\iff$$

$$\iff d=\frac{1}{4a}$$

    Como decía, ya estaba acabando. En una parábola con el vértice en el eje $OX$, el foco está $\displaystyle\frac{1}{4a}$ unidades por arriba del vértice, la directriz $\displaystyle\frac{1}{4a}$ unidades por abajo.

    Esto no cambia por la traslación de $c-\frac{b^2}{4a}$ que hicimos en su momento hacia abajo, por lo que el foco sigue estando a $\frac{1}{4a}$ unidades por encima del vértice original, y por ello, las coordenadas del foco son:

$$\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2}{4a}+\frac{1}{4a}\right)=\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2-1}{4a}\right)$$

    En cuanto las coordenadas de la directriz:

$$y=\displaystyle c-\frac{b^2}{4a}-\frac{1}{4a}=c-\frac{b^2+1}{4a}$$

    Si la parábola fuera cóncava, nada impide hacer el razonamiento anterior. Ahora se tendría $a<0$, pero una vez que hagamos que el vértice coincida con el eje $OX$, el foco tendría altura $y=d<0$ por debajo del foco, de donde de nuevo $ad>0$ y no habría problema con $\sqrt{ad}$

    Es muy interesante saber que si la parábola posee $a=1$, la mayoría de las que se ven en secundaria o bachillerato, el foco y la directriz están justo $\frac{1}{4}$ unidades por encima y debajo del vértice. Bien cerquita.

Primera demostración vista. Vayamos con la segunda

2 - Segunda demostración

    Parte de un resultado igual de importante:

    Consideremos una parábola de la forma $$(x-h)^2=4p(y-k)$$

Entonces:

• El Vértice está en $V(h\;,\;k)$
• La directriz está en $y=k-p$
• El foco está en $F(h\;,\;k+p)$

    Eso en lo que respecta a las parábolas "verticales". La parábola $(y-h)^2=4p(x-k)$ sería una parábola horizontal (eje horizontal).

    Pues tengamos una parábola $y=ax^2+bx+c$. El objetivo va a ser escribirla de la manera anterior,  $(x-h)^2=4p(y-k)$, para determinar quiénes son $h$, $p$ y $k$.

Sea

$$y=ax^2+bx+c$$

La escribo de otra forma, pasando $a$ al denominador

$$x^2+\frac{bx}{a}+\frac{c}{a}=\frac{y}{a}$$

Busco una identidad notable con los dos primeros sumandos (recuerdo que estoy buscando la forma $(x-h)^2=4p(y-k)$)

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}=\frac{y}{a}$$

Dejo ese cuadrado de una suma solo en el primer miembro

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{y}{a}-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{4ay-4ac+b^2}{4a^2}$$

Ahora, en el segundo miembro busco ese $4p(y-k)$. Saco ese 4 que necesito multiplicando; se compensa dividiendo 

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{4\left(ay-ac+\frac{b^2}{4}\right)}{4a^2}=4\cdot\frac{1}{4a^2}\left(ay-ac+\frac{b^2}{4}\right)$$

Damos un paso más, y también sacamos factor común $a$

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=4\cdot\frac{a}{4a^2}\left(y-c+\frac{b^2}{4a}\right)=4\cdot\frac{1}{4a}\left(y-c+\frac{b^2}{4a}\right)$$

Ya ha aparecido $\frac{1}{4a}$. Todo se va apareciendo a lo que debería. Vamos a dar unos últimos pasos

$$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=4\cdot\frac{1}{4a}\left(y-\left(c-\frac{b^2}{4a}\right)\right)$$

Decíamos que si considerábamos una parábola de la forma $$(x-h)^2=4p(y-k)$$

Que nos lleva a:  

• $\displaystyle h=\frac{-b}{2a}$
• $\displaystyle p=\frac{1}{4a}$
• $\displaystyle k=c-\frac{b^2}{4a}$

Entonces:

• El Vértice está en $\displaystyle V(h\;,\;k)=\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2}{4a}\right)$
• La directriz está en $\displaystyle y=k-p=c-\frac{b^2}{4a}-\frac{1}{4a}$
• El foco está en $\displaystyle F(h\;,\;k+p)=\left(\frac{-b}{2a}\;,\;c-\frac{b^2}{4a}+\frac{1}{4a}\right)$

    Obviamente sale lo mismo, y seguramente de forma más sencilla, aunque usando de partida no la propiedad que relaciona focos, directrices y puntos, sino la ecuación general de la parábola. 

San Fernando

23 de junio de 2024