Transfinitos; los números después del infinito... sí, ha leído bien... tras el infinito.

(En esta entrada voy a hablar de los transfinitos, o los números después del infinito. Pregunta... ¿Cuántos infinitos hay? Pues infinitos).

    No es un tema fácil de entender, pero a mis alumnos de bachillerato, o quizás de un grupo alto de la ESO que responda, me gusta lanzarle la base de los diferentes infinitos, porque los hay, y que entiendan la diferencia entre el número de los números racionales y los reales. Creo que ellos hablan de explotarles la cabeza... puede ser, pero si al bueno de George Cantor no le explotó (aunque estuvo cerca)...

    No se preocupe, la entrada creo que va a ser muy fácil de entender, y voy a acabar demostrando, creo que con los mismos razonamientos que Cantor, que hay al menos dos infinitos distintos. Es más, voy a dar unas ideas matemáticas de razonar, si quiere llámelo trucos, que siempre vienen bien al estudiante de carreras (perdón, grados) técnicos. 

    Antes de nada, quiero dejar claro la diferencia entre número cardinal y número ordinal. Ambos son números y como tales sirven para contar, pero mientras los números cardinales hacen referencia a la cantidad, por ejemplo 4 niños, 5 sombrillas, los números ordinales se centran en la posición que ocupan los números, al orden en definitiva; el cuarto niño, la quinta sombrilla. Y por ejemplo usted no diría: En la carrera quedé 6 (sino sexto), o voy a la pastelería a comprar el cuarto pastel (sino 4 pasteles). Aunque puede haber situaciones en las que no esté mal hablar de números cardinales en vez de ordinales o viceversa, la distinción está clara:

• Números cardinales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, etc.
• Números ordinales: 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 6º, etc.

Dicho esto, comencemos con varias ideas muy sencillas de entender.

1- Hay números después del infinito

    La primera en la frente. Efectivamente hay números después del infinito. Le pongo un ejemplo bastante instructivo.

    De Chiclana a San Fernando hay un sendero que cruza un Parque Natural. Ambas ciudades están separadas $10 km$ (esto es cierto, lo que viene seguramente no). Supongamos que el sendero es perfectamente recto, y nos situamos en Chiclana en una bicicleta que se va a mover justamente a $10 \,km/h$. Ni mas ni menos va a ir a esa velocidad durante todo el camino, por lo que justamente en una hora va a recorrer esos $10\,km$ y va a llegar a San Fernando.

    Además del ciclista, tenemos una mosca, pero no una mosca cualquiera, sino a una de la especie drosophila tancaprichosacomoincansabilis, que se mueve siempre a una velocidad constante de $20\,km/h$ y que posee la increíble facultad de girar 180º y darse la vuelta en un tiempo exactamente igual a cero, siguiendo siempre a la misma velocidad.

    En un primer momento la mosca y el ciclista están juntos, y ambos comienzan a moverse de Chiclana a San Fernando (meta), el ciclista a sus $10\,km/h$, la mosca al doble de velocidad. Como la mosca va al doble de velocidad, va dejando al ciclista atrás, y cuando ésta llega a San Fernando, el ciclista está justamente a mitad de camino. Al llegar la mosca a San Fernando, se da la vuelta instantáneamente (en tiempo cero) en busca del ciclista. Como el ciclista no había llegado aún y estaba a cierta distancia de la meta, y como la mosca va más rápido, la mosca se encuentra con el ciclista antes de que éste llegue a la meta. Llega a su altura y vuelve a darse la vuelta instantáneamente en busca de la meta, siempre va más rápido y vuelve a dejar al ciclista atrás, llegando a la meta antes que el ciclista. Al llegar a la meta vuelve a darse la vuelta instantáneamente, ya digo que la mosca es de la especie drosophila tancaprichosacomoincansabilis, vuelve a buscar al ciclista, lo encuentra, se da la vuelta, se dirige a la meta, vuelve a buscar al ciclista y así una y otra vez.

   

    Le doy una imagen en el que la mosca y el ciclista no están a escala (afortunadamente, no le quepa duda). No les voy a decir que esta situación no sea estresante, sobre todo para la mosca (el ciclista se está dando un paseo tranquilo en un sendero recto de $10\,km$ en el Parque Natural, mientras la mosca va a una mayor velocidad y no deja de hacer cambios de dirección). Pero si aceptamos este ejemplo (tan extraño, eso sí), podemos extraer varias conclusiones.

• Como el espacio siempre se puede dividir en trozos más pequeños (esto es importante), en un momento dado, por cerca que estén ambos de la meta, el ciclista y la mosca no habrán llegado aún a la meta, por lo que podremos dividir ese espacio en trozos más pequeños, la mosca llegará de nuevo a la meta antes que el ciclista, se dará la vuelta mientras el ciclista aún no ha llegado, y volverán a encontrarse antes de que éste llegue a la meta, a cierta distancia de la meta menor que la anterior. Este proceso se va a repetir infinitas veces, aunque cada vez con iteraciones más cortas.
• Por ello, la pobre mosca va a dar infinitas vueltas. Cada vez va avanzar menos metros porque la distancia entre ciclista y destino es menor (le pongo de ejercicio calcular la distancia total que va recorrer la mosca; la daré al final de la entrada), eso sí, cada vez tendrá que darse la vuelta con más frecuencia al no haber mucha distancia entre el inicio del nuevo trayecto (ciclista) y el final (la meta que no cambia), pero como decía anteriormente, al ser el espacio una medida siempre divisible, este proceso de dividir el poco espacio que quede por recorrer y hacer dos nuevos trayectos para encontrarse a cierta distancia (algo menor, sí) del final, se repite infinitas veces (Sí, esto recuerda mucho a las paradojas de Zenón, en particular la de la flecha)
• Sé que me repito, pero este es un punto principal. La mosca, como un Sísifo moderno, va a estar condenada a dar infinitos giros, cada vez en menos tiempo.
• Pero, y aquí está la clave, la bicicleta va a una velocidad constante, por lo que al cabo justo de una hora llega a su destino, quedando liberada la mosca de su castigo. Y la pregunta es: Al cabo de una hora justa, en el momento en el que la bici llega a su destino ¿Cuántos giros dio la mosca? Dijimos que infinitos, y es correcto. Al cabo de una hora, en el momento que el ciclista llegue a la meta, la mosca ha dado infinitos giros, y a partir de ahí, cuando la mosca se vaya a donde quiera y haga otro giro habrá hecho $\infty+1$, cuando vuelva a girar será $\infty+2$, $\infty+3$, etc.

    Sin duda es un ejemplo extraño; aún nadie ha visto una drosophila tancaprichosacomoincansabilis (y eso que es grande y que en la Bahía de Cádiz he visto cosas raras), pero nos da la idea de que efectivamente puede haber números tras el infinito.

    Lamento haberle derrumbado su idea del infinito como algo inalcanzable. De todos modos no tema, el infinito efectivamente es inalcanzable (eso sí, le animo a seguir leyendo para seguir derribando mitos).

    Pero $\infty$ es una idea poderosa, mientras $\infty\!+\!3$ es decir de alguna forma "pues no eras para tanto". Por ello, al hablar de matemática transinfinita, o números tras el infinito, los matemáticos no decimos $\infty +3$, sino que a este infinito, el primero de ellos (spoiler), lo llamamos $\omega$, y en su lugar escribimos $\omega\!+\!3$, de forma que salvamos un poco el prestigio de $\infty$. Por cierto, estos números son ordinales.

    Le propongo calcular la distancia recorrida en total por la mosca en esa hora tras esos infinitos giros. Al final de la entrada, en el apéndice 9.1, daré la solución. Es más sencillo de lo que parece.

    Creo que, encontremos o no a drosophila tancaprichosacomoincansabilis,  es razonable asumir que puede haber números tras el infinito. Si está dispuesto, hablaré un poco más de ellos

Exámenes y ejercicios PAU de MAT2 y MCS2 de Andalucía completamente resueltos

 (en esta brevísima entrada voy a ir colgando los exámenes y las soluciones de las pruebas PAU de Andalucía de MCS2 y MAT2 desde 2023).

    Escribo esta entrada para aquellos interesados en obtener ejercicios PAU de MAT2 y MCS2 de Andalucía, muchos completamente resueltos, para prepararse las citadas pruebas (o preparar exámenes). Aunque mis alumnos de cada curso tienen acceso libre a la plataforma Moodle Centros, en la que tienen muchas pruebas resueltas, pensando en los que no son alumnos voy a ir colgando pruebas PAU de Andalucía, comenzando desde 2023.

A continuación, de cada uno de los distintos bloques rescato las soluciones que suelo ponerles a mis alumnos tras sus exámenes, generando documentos con "de 20 a 50" ejercicios PAU por bloques completamente resueltos, aunque como les digo a ellos, las matemáticas no se aprenden leyendo ejercicios resueltos, sino intentándolos, y a continuación, sí, mirando las soluciones. Estos ejercicios pueden servir de refuerzo al alumnado.

    Dejo al final de cada asignatura el enlace a dos interesantísimos (PDFs con más de 1200 ejercicios cada uno); una recopilación de todas las pruebas PAU de Andalucía de MCS2 desde 1999, y de MAT2 desde 2001, pero agrupados por bloques de contenidos, ideales para preparar exámenes (tanto para los alumnos como para los profesores). A este documento mío que voy engordando año tras año les añado respecto cursos anteriores los porcentajes de puntuación de cada apartado, así como qué preguntas tienen puesta su solución, y añado también al final de cada bloque las preguntas modelo que han publicado la mayoría de las universidades para la PAU 2025.

Al final de la entrada doy el enlace a mis materiales (teoría y fichas de ejercicios muy completas) de ambas asignaturas. Espero que todo le sea de utilidad tanto al alumnado como al profesorado.

Y ahora sí, los enlaces:

Modelos de ejercicios de exámenes PAU 2025 para Matemáticas MCS2 y MAT2

(En esta breve entrada muestro dos documentos en los que recopilo los diferentes modelos de ejercicios de matemáticas que las CCAA han preparado para la PAU 2025)

    Sin duda, los profesores y alumnos vamos un poco a ciegas con la PAU de 2025. Para paliarlo, las Universidades de las distintas Comunidades Autónomas están preparando unos modelos de exámenes con la nueva normativa.

    En esta breve entrada recopilo estas preguntas modelo de las diferentes comunidades para las PAU de 2025, tanto para la asignatura de MAT2 como de MCS2, ordenándolas por bloques de contenidos.

    Los citados ejercicios se han extraído de las páginas webs oficiales de las diferentes universidades de las diferentes comunidades autónomas, y la única misión que tiene esta recopilación es ayudar al alumnado y profesorado a preparar la dicha prueba. De cada ejercicio se señala su CC.AA. de procedencia.

    He dejado los ejercicios tal como están publicados, y si un ejercicio mezcla dos bloques de contenidos, por ejemplo probabilidad con funciones, he creado un apartado al final de la ficha ejercicios que se comportan de tal forma, antes de romper y pegar los ejercicios propuestos por la mitad. Se añaden también las puntuaciones de cada apartado (cuando las han añadido) por medio de porcentajes.

Tampoco marco cual es el ejercicio obligatorio en cada modelo de examen. Además de que creo que no tiene mucha utilidad ya que los modelos puestos por las universidades son modelos y entiendo que la prueba de 2025 de cada CCAA puede ser sensiblemente distinta, solo he querido recoger ejercicios. Existe mucha más información, como, los criterios de corrección, en las páginas webs oficiales de las diferentes universidades. 

    Por último, aún no están representadas todas las Comunidades Autónomas porque algunas no han publicado aún su modelo de prueba. A medida que los vayan publicando añadiré sus ejercicios.

Aquí están las preguntas.

Preguntas modelo para PAU 2025 de MCS2 

Preguntas modelo para PAU 2025 de MAT2

Muchas gracias a todas las Universidades por este esfuerzo de adaptación y preparación de materiales.

(Revisión de 31 de octubre de 2024, ejercicios de 12 CC.AA.)

Juegos de las fases lunares de Google

(En esta brevísima entrada se da acceso a juegos inmersos en Doodles de Google relacionados con las fases lunares)

 

    El primero lo colgaron el 24 de octubre, pero como han puesto un par de ellos más, aunque con la misma dinámica, voy a actualizarlos. Esencialmente consisten en una especie de 3 en raya. Para que no se pierdan y pueda jugar otros días además de hoy, estos son sus enlaces:

Ascenso de la media luna de Octubre 

Fotos destacadas

 (Además de intentar enseñar cómo hacer las cosas, hay que predicar con el ejemplo, y en esta entrada voy a ir mostrando mis mejores fotos y vídeos).

    Soy profesor de mates y me encanta enseñar. Me encanta ponerme con el ordenador y hacer una entrada explicando lo que sé por ejemplo de fotografía planetaria o cómo conectar una montura al ordenador por EQMOD o ASIAir. Pero me encanta también salir al campo o a la azotea y fotografiar.

Ahora que las 100k visitas se han alcanzado, publico esta entrada en la que ir colgando mis mejores fotos y vídeos y que esté bien visible en el blog. Intentaré dar la máxima información de cada una.

Araña mecida por la luna
Cámara reflex, sin trípode
Distancia focal 200, ISO 1600, f5.6, 1/1000seg
20 de julio de 2024

    La dificultad de esta foto es por una parte el enfoque del objeto principal, en este caso una araña que colgaba de un hilo desde un alambre horizontal, lo que lógicamente va a suponer que la Luna quede desenfocada. Por otra parte, como hacía viento, la araña no dejaba de moverse y de salir y entrar en la luna, ya que para que el desenfoque lunar no fuese mayor, la foto se hizo desde unos 5m de distancia. Tuve que tirar unas 100 fotos hasta lograrla. Perseverancia al poder.

E-BLOG-LUCIÓN

(en esta brevísima entrada, hago balance de estos 12 años del blog)

Ya tenía ganas de hacer esta entrada. La tenía pensada para cuando llegara a las 100 entradas o bien a las 100000 visitas (lo que sucediera primero)... pues lo que ha sucedido primero es... lo segundo.

Sí. Este blog ha llegado ya a las 100000 visitas y seguimos creciendo. Sólo puedo decir

¡¡¡Muchas gracias a tod@s los que lo habéis hecho posible!!!

    Me sitúo... era sobre 2009 cuando estaba destinado en mi instituto de corazón, el IES Trafalgar de Barbate, donde además de alumno fui profesor. Ese año además de matemáticas daba clase de informática a un grupo tan pequeño como encantador, y una de las muchas tareas del curso para los alumnos era que estos confeccionaran un blog.

    Y así fue; al mismo tiempo que iba enseñando yo iba aprendiendo, y resulta que este pequeñajo llegó para quedarse ya que yo tenía muchas cosas que contar... y por ello mismo me ha visto crecer, y pasar de publicar solo contenidos de mates a empezar a poner fotos hechas con telescopio e incluso a enseñar cosas de los mismos.

ASIAIR PLUS y AZ-EQ6 (o monturas similares) - Cómo conectarlo todo y ponerlo en funcionamiento

 (En esta entrada voy a dar unas instrucciones muy esquemáticas para conectar el ASIAir Plus a una montura como la AZ-EQ6 y trabajar con ella. Se entiende que disponemos de una montura ecuatorial motorizada).

    La verdad es que solo he hecho pruebas un par de días con el ASIAir Plus y estoy encantado con él. Ya estoy deseando seguir con las pruebas, y sinceramente, en mi caso creo que ha venido para quedarse. El único problema que le veo, además de tener que gestionar un cableado distinto al que yo tenía ya establecido, es que hace que el Polaris ya no me sirva ya, al incorporar el ASIAir Plus su propia rutina de alineamiento polar.

    Ese es el inconveniente más grande que le veo, que no volveré a usar el Polemaster (a ver si en Wallapop...). Pero las ventajas son muchas... entre ellas.

• Sustituye perfectamente a un ordenador portátil, por lo que aligerará su equipo.
• Le va a gestionar dispositivos como EAF, rueda de filtros, calentador de rocío, cámara de guiado, cámara principal...
• A la hora de hacer GOTOS va a clavar en la pantalla el objeto a fotografiar, ya que hace Plate Solvings.
• A tiempo real va a ver qué es lo que aparece en el visor de su cámara
• Va a poderlo ver todo desde su móvil o el ordenador a unos cuantos metros de distancia, seguramente protegido de la humedad o de los mosquitos.

    Ya sabe que yo soy más de escribir que de hacer videos (seguramente todo llegará). Ver un video está bien, pero que te lo expliquen todo en papel y puedas leerlo y subrayar, creo que también. Se que hay buenos videos por ahí, y al final de la entrada daré sus enlaces (no creo que les importe a sus autores), pero voy a explicar de forma esquemática cómo manejar el ASIAir Plus (de ahora en adelante solo ASIAir) para conectarlo a una montura como la SkyWatcher AZ-EQ6.

    Otra cosa que debo decir, si cambio de opinión borraré esta parte, es que creo que es más una herramienta para Cielo Profundo que para Fotografía Planetaria (lo cual no me importa nada, ya que es mi técnica favorita... ¿Quién quiere ver un planeta o asteroide teniendo una galaxia repleta de ellos?). ¿Por qué digo esto? Porque el ASIair permite grabar vídeos, pero me gusta más el control que tengo de los mismos con el ASIStudio. Eso sí, usar el ASIStudio supone que utilice un portátil, mientras esta pequeña cajita me libera del mismo. En unos meses que comience la etapa de planetaria (Júpiter, Saturno y Marte) veremos.

Vamos a ello. Espero que le guste el estilo directo y al grano que voy a seguir en la entrada.

Cómo hallar el Foco y la Directriz de una parábola

 (En esta breve entrada se explica cómo encontrar el foco y la directriz de una parábola a partir de su expresión canónica; es más sencillo de lo que cree).

   Me gusta esta entrada. Me encantan las cónicas, y quitando la parábola, estas figuras están olvidadas en el Sistema Educativo actual. No es que no entren, pero no se dan. En fin. la parábola es una figura geométrica muy especial. Procede de cortar un cono con un plano de manera paralela a su generatriz, y por eso se le llama una cónica.

    Otras cónicas son la circunferencia (el plano es perpendicular al eje del cono), la hipérbola (el plano es paralelo al eje del cono) o la elipse (el plano ni es paralelo al eje, ni perpendicular, ni paralelo a la generatriz).

    Tenemos pues una parábola. Supongo que todos sabemos qué es una parábola; una curva infinita en forma de copa de cava que encierra un área convexa ilimitada y que posee un eje de simetría en el que está su vértice, corte del eje con la parábola.

    Pues esa figura posee un par de propiedades geométricas muy interesantes, y otros elementos además del vértice y el eje como son la directriz y el foco. Veamos qué propiedades tienen y a cómo hallarlos. Lo voy a hacer para una parábola en su forma canónica y de las que nos podemos encontrar en Análisis Matemático; $y=ax^2+bx+c$

Sirius A y Sirius B

(En esta brevísima entrada hablo del sistema Sirius, especialmente de la esquiva Sirius B, una vez que he conseguido fotografiarla)  

    Todo comenzó mientras buscaba un ejemplo de poder de separación para la entrada justamente anterior a ésta; los fundamentos de la fotografía planetaria. La estrella más brillante del firmamento, vista desde la Tierra, es Sirius, en la constelación del Can Mayor, cerquita de Orión. En realidad Sirius es Sirius A, ya que es un sistema doble formado, que se sepa (hay dudas de que sea un sistema triple), por al menos Sirius A, una estrella blanca de la secuencia principal que posee el doble de masa y diámetro del Sol, y por Sirius B, una enana blanca del tamaño de la Tierra y la masa del sol, y que curiosamente en su momento fue la más masiva de las dos. Ambas están situadas a unos 8'6 años luz de la Tierra.

    Pues resulta que Sirius B, la menos brillante y menos masiva, da una vuelta alrededor de Sirius A a lo largo de 50 años en una órbita elíptica, y que ahora prácticamente están a la máxima distancia entre sí, unas 20UA, unos tres mil millones de kilómetros o la distancia de nuestro Sol a Urano.

    El tema es que aprovechando este mayor alejamiento hace unos días intenté captar a Sirius B. El problema no es tanto la distancia que las separa (aunque están bastante alejadas, 20 UA, están relativamente cercanas desde el Sistema Solar, unos 8'6 años luz), sino que hay tanta diferencia de brillo entre una y otra estrella que para captar la débil hay que subir mucho el tiempo de exposición de ambas, con lo que la brillante queda muy sobre-expuesta y lo habitual es que se coma a la débil, pero el que ahora estén tan alejadas sin duda ayuda.

Y como dispongo de un Maksutov de 20cm que en teoría permite captar detalles muy pequeños, hace un par de noches lo intenté, y jugando adecuadamente con la exposición, a la primera obtuve premio.

Con ustedes, Sirius A y B.

    Probé a girar la cámara por si era algún defecto óptico y nada de eso, la pequeña estrella seguía pero habiendo cambiado también su posición).  

    Me pongo de tarea, si vuelvo a sacar el Maksutok esta temporada, intentar captar Sirius B sin sobreexponer tanto a Sirius A.

Las técnicas en astrofotografía (II) - Mi ABC de la fotografía planetaria

(En esta larga entrada doy los principios de la fotografía planetaria, así como el procedimiento de fotografiar y cómo editar posteriormente, incluyendo el procesado por lotes).

    Desde que tengo uso de razón me apasiona la astronomía, llevo ya años disfrutando de un buen telescopio, siguiendo foros astronómicos y un poquito creo que ya sé. De la misma manera que no hay un tubo (telescopio) perfecto para todo, y esto es un hecho, una opinión muy extendida en los foros es que tampoco hay un astro-fotógrafo para todo; o te centras en la fotografía planetaria o te centras en la fotografía de cielo profundo.

    A pesar de ser una opinión muy extendida, no comparto esa opinión. Me encanta la astronomía y disfruto tanto fotografiando una galaxia o nebulosa como un planeta, y sería incapaz de renunciar a uno de esos dos mundos.

    Ahora bien, sin renunciar a ningún estilo,  a mí me gusta más la fotografía de cielo profundo. Dicen que es más difícil que la fotografía planetaria y que ésta es más agradecida, pero la verdad es que a mí me cuesta mucho más sacar buenos resultados con los planetas. 

    Pues esta temporada, tras tiempo sin salir a fotografiar, estoy centrándome en la planetaria y creo que he dado un pequeño salto de calidad, tanto que me atrevo a realizar esta entrada contando lo poquito que sé. ¿Qué le parece la siguiente foto?

     En ella se ve a Ganímedes, el mayor satélite del Sistema Solar, eclipsando a Júpiter (bueno, ya quisiera ella, la copera de los dioses), tomada el 10 de noviembre de 2023.

¿O qué tal este vídeo de la rotación de nubes de Júpiter? (sin duda, para la foto planetaria, el "hermano mayor" da mucho juego)

     De todos modos no se engañe, para tomar estas fotos hacen falta una buena noche y un buen equipo, más un procesado posterior. En esta entrada le voy a dar una serie de indicaciones y consejos para al menos igualar estos resultados, pero ya le digo que de fácil, la fotografía planetaria nada.

Welcome back, Mr. Halley

(Ahora que el cometa Halley está en su afelio, a mitad de camino a su próxima visita al Sistema Solar interior, voy a hablar un poco de él y de su descubrimiento)

    El Sistema Solar tiene muchos habitantes; el Sol, planetas, satélites, asteroides y cometas.  Los primeros describen órbitas elípticas alrededor del Sol. Pero de los últimos... como ya he dicho alguna vez, los cometas son los gatos traviesos del Sistema Solar y van por libre. Los hay con órbitas hiperbólicas y parabólicas que no llegan a cerrarse y pasan una vez cerca del sol para alejarse y nunca volver. Suelen ser los más espectaculares, ya que en los cometas periódicos cada paso alrededor del sol supone que se evaporen sus hielos y partículas de polvo, por lo que se van gastando paso tras paso, mientras los que nunca han pasado cerca de una estrella están "por estrenar". Pero como decía, los hay también que describen órbitas elípticas, y vuelven a pasar una y otra vez cerca del sol en una cantidad definida de tiempo.

    Me centro en los últimos, en los cometas periódicos. Podría hablarle del Borisov, Biela, Temple, Wolf,  Encke, Gale, Faye, Harrington, Pons-Brooks, Wild... y posiblemente no le suenen, ahora bien, si le digo el cometa Halley, de éste sin duda sí habrá oído hablar.

    Pues bien, se calcula que hoy, 12 de diciembre de 2023, el citado cometa Halley está en su afelio, el punto más alejado del sol, a unas 34 unidades astronómicas de la Tierra (distancia Tierra-Sol), perdido con una magnitud de +35 en la constelación de Hydra y tardando la luz en llegarnos desde su posición $4h\,44m$, por lo que a partir de ahora que ya ha pasado la mitad de su recorrido lo que va a hacer es acercarse al Sol y a la Tierra.

    Aunque su órbita sea de 76 años, su afelio, el punto de hoy, se encuentra entre las órbitas de Neptuno y Plutón, como quien dice, aquí al lado. El hombre (la NASA) ya posee sondas que rebasaron hace tiempo la órbita de Plutón (por ejemplo, la Voyager 1 se encuentra a unas 160 unidades astronómicas de la Tierra, a más de 22 horas luz).

    El máximo acercamiento al sol, su momento de perihelio, se producirá el 28 de julio de 2061, y en esta ocasión sí se espera que sea un cometa brillante desde nuestro planeta, a diferencia de su paso de 1986 en el que por razones orbitales no pasó muy cerca de la Tierra en su momento de mayor brillo y fue más bien un cometa mediocre. Por cierto, aunque enamorado de la astronomía, por entonces yo solo era un adolescente que no poseía mapas celestes, no existía internet ni tenía acceso a la información de por dónde y cuándo iba a pasar ni podía salir de casa de madrugada, y por todo ello no pude ver ese paso mediocre de 1986; ojalá la vida me dé una segunda oportunidad para verlo en 2061.

    Aquí subo la posición del cometa Halley y la órbita terrestre el 8 de junio de 2061 generada con el programa Celestia. Como se ve en esta ocasión el cometa sí va a pasar relativamente cerca de la Tierra, aunque entre el Sol y nosotros, por lo que cuando esté más cerca se verá poco antes del amanecer o hasta poco después del anochecer.

    Quería contar algo más de este insistente visitante, pero la verdad es que la noticia es que hoy el cometa comienza a acercarse al sol; de aquí al 28 de julio de 2061, dentro de 38 años, espero tener tiempo para contar muchas cosas del mismo, como el heróico re-descubrimiento del mismo, en el que jugó un papel principal una supermujer del siglo XIX, Nicole-Reine de la Briere Lepaute. Hoy es el día. ¡Welcome back, Mr Halley!.

El Stellarium y la posición de la Gran Mancha Roja (GRS) de Júpiter

(En esta breve entrada se da una herramienta para corregir en Stellarium la posición de la Gran Mancha Roja de Júpiter, que seguramente no coincida con la posición real).

    Adoro al programa Stellarium. Repito. Adoro el programa Stellarium. Es seguramente mi mejor herramienta para planificar observaciones. Ahora bien, a veces detecto cosas mejorables.

    Una cosa mejorable, por ejemplo, no es la posición de los satélites de Júpiter. Eso lo rigen las matemáticas y la Ley de Gravitación Universal, y con una serie de potentes algoritmos el programa nos va a decir dónde van a estar los satélites dentro de tantos años.

    Otro aspecto muy interesante de Júpiter es la Gran Mancha Roja o GMR, (Great red Spot o GRS en inglés). Esta característica es una gigantesca tormenta en su superficie que se va moviendo a lo largo del planeta, y no ocupa una posición fija. Stellarium lógicamente no sabe dónde se va a encontrar la GMR dentro de tantos años; dependerá de la dinámica de nubes joviana, la cantidad de radiación solar que haya recibido en todo ese tiempo, sino que nos mostrará una predicción; en tal momento estaba aquí y supongo que se desplaza tantos grados por año. Como muestra del lío que tienen encima las lunas de Júpiter, le recomiendo este vídeo. Esto es como lo del reloj que se va atrasando/adelantando aunque sea muy poco cada día, en este caso se va atrasando o adelantando de forma impredecible. Si el programa lo tenemos instalado desde hace mucho tiempo, la posición real de la GMR no coincidirá con la predicha por Stellarium.

    De hecho,  recuerdo que hace un par de años invité a cenar en casa a un gran amigo muy, muy aficionado a la astronomía para ver Júpiter en oposición, prometiéndole que si esa noche no había nubes, veríamos la GMR. La noche no estuvo mal y pude enseñar a mi amigo varios planetas, las bandas principales de Júpiter, o a Saturno y sus anillos, pero la GMR no apareció. Hoy ya sé por qué.

    En esta breve entrada doy un procedimiento para corregir este desfase entre el planeta real y lo expresado por Stellarium, para poder mirar el programa y saber en qué momento será visible sin cometer errores. Hacer esta corrección es ciertamente un proceso muy sencillo, y en un par de minutos la tendrá lista.

Materiales de matemáticas para 2ºESO

(En esta entrada voy a colgar materiales para 2ªESO. Eso sí, serán materiales en general básicos, para grupos de nivel competencial medio-bajo o para algún tipo de refuerzo).

      Va siendo hora de ir cerrando mis materiales de secundaria colgando unas fichas de ejercicios para 1º y 2º ESO. Comienzo con los de 2ºESO que impartí el curso pasado.

    Lo digo ya, no hay teoría, sólo ejercicios, y en general son de un nivel medio para un grupo al que le cueste seguir un ritmo alto, o para usarlos como clases de apoyo. Eso sí, como en todos mis apuntes hay suficientes ejercicios de aquellos tipos que considero más importantes, ya que a mí me va muy bien la repetición de ejercicios que considero fundamentales.

    Igualmente, que nadie espere tener un temario completo como el de bachillerato, con mi grupo del año pasado no pude darlo todo y se reduce a un par de unidades por trimestre. Pueden complementarse estos materiales con algunas partes de 3ºESO y 4ºESO.

    Y por no esperar, que nadie espere aquí encontrar situaciones de aprendizaje. Lo que doy son fichas repetitivas de ejercicios (a mí me va bien con ellas, sin duda los libros son muy interesantes, pero yo prefiero que aprendan los procesos básicos y al acabar tema buscar ejercicios de aplicación en el libro) para hacer en clase, las fichas de toda la vida.  

    El orden de las diferentes unidades se corresponden al que se dio en mi precioso instituto, el Pablo Ruíz Picasso de Chiclana de la Frontera, en el pasado curso 2022/23.

    Con ustedes, unos materiales de 2ºESO.

Unidad 1 - Estadística descriptiva unidimensional

• Ficha de ejercicios sin soluciones
• Soluciones a los ejercicios

Unidad 2 - Probabilidad

• Ficha de ejercicios sin soluciones
• Soluciones a los ejercicios

La contaminación lumínica, el índice Bortle, el NELM y el MALE

 (En esta entrada hablo de la contaminación lumínica, voy a dar un mapa interactivo, y voy a describir el índice Bortle, que mide lo contaminados que están los cielos)

    Ya tenía ganas de esta entrada. Sin duda el siglo XX y el XXI han supuesto una era de progreso tecnológico en la Humanidad, pero ha traído también muchos puntos negros (desigualdad de la riqueza, carrera armamentística, el cambio climático, casi toda la música del siglo XXI...). A esa larga lista le añado un punto negro más... hemos perdido el cielo nocturno. Desde cualquier ciudad europea es muy difícil, o imposible, poder ver por ejemplo la Vía Láctea. En este aspecto, nos hemos empobrecido.

    A esto se le llama contaminación lumínica. Le pongo una imagen muy significativa.

    Preciosas España y Europa iluminadas ¿eh? Por desgracia, en astronomía y en calidad de cielos, menos es más, y en este aspecto somos muy pobres. Le pongo otra muestra, nuestra península ibérica de noche vista desde la ISS (Estación Espacial Internacional).

    Si le gusta salir al campo a ver estrellas la imagen es terrorífica... ¿verdad? Si quiere ver más de estos monstruos, vaya a Google y escriba: "ISS earth night", verá que hay todo un bestiario. Le pongo otra imagen antes de seguir, ahora una imagen desde Tierra en un lugar supuestamente oscuro.

    Se aprecia en la parte superior de la imagen que desde este sitio se ven estrellas, muchas estrellas, y que este sitio no está mal para observar el cielo. Es el Cabo Trafalgar. Ahora bien, la parte central que está sobre un monte con un horizonte de unos 10º-15º de altura se ve sobre-expuesto, en este caso debido a las luces de la preciosa Vejer, a unos 12 km.

    Esta foto es más reveladora. La ciudad de San Fernando vista desde Chiclana a unos 7km de distancia. No sé a usted, pero a mí la imagen me sugiere un terrible incendio que quema la parte inferior del firmamento. En esta fotografía se ven a la izquierda las 8 estrellas principales de la osa mayor y poco más. Ese es el cielo de mi ciudad.

    Sin embargo, si me voy a la playa, el resultado es muy distinto y pueden captarse estrellas muy bajas en el horizonte; todo el cielo parece igual de oscuro (esta fotografía está apuntando al mar, y la costa más cercana sería una parte poco luminosa de la costa africana a 200 km.

    Sin embargo, esta foto también está hecha en la playa (aunque más al sur, en el Cabo de Trafalgar).  También mira al mar. A la derecha se ve perfectamente el brazo de Sagitario de la Vía Láctea, y en la parte de la izquierda, las luces de la cosmopolita ciudad de Tánger a unos 40 km.

Esto de lo que hablo es la contaminación lumínica. En esta breve entrada voy a hablar algo de la misma y del índice Bortle con el que se miden lo contaminados que están nuestros cielos.

Apuntes de la Optativa de Estadística para segundo de bachillerato

 (En esta entrada cuelgo mis apuntes para la útil optativa de 2 horas de Estadística para segundo de bachillerato y explico el porqué de su utilidad.)

    Voy a comparar en una tabla lo que se da en bachillerato de Ciencias y Tecnología, lo que se da en bachillerato de Ciencias Sociales, y lo que cae en las correspondientes pruebas PAU. Las líneas horizontales separan bloques de contenidos en cada prueba (4 bloques por prueba)

    En general, el alumnado de Ciencias y Tecnología y de Ciencias Sociales comparten algo más de medio temario (en negro; derivadas, integrales y matrices). Eso sí, se supone que para el alumnado de ciencias la profundidad de los temas es mayor.

    El hecho es que el alumnado de Ciencias y Tecnología, bajo ciertas condiciones, también puede presentarse a la prueba PAU de MCS II y convalidar su nota (importante, sólo en Andalucía), pero le faltaría ver lo correspondiente (color azul) a Programación Lineal, Probabilidad y Estadística para poder hacer sin problemas (color rojo) la prueba PAU de MCS II.

    Esa es la primera utilidad de la Estadística; al alumnado de Ciencias y Tecnología se le enseñan Programación Lineal, Probabilidad y Estadística, con lo cual todo lo que puede entrarle en la prueba PAU de MCS II quedaría cubierto. Es más, me atrevo a decir que la prueba PAU de MCS II  es más que asequible para el alumnado de Ciencias y Tecnología, ya que en general sus derivadas, integrales y matrices serán más fáciles que las de la prueba PAU de MAT II, y los contenidos de Programación Lineal, Probabilidad y Estadística son ciertamente sencillos.

    Otra utilidad para el alumnado de Ciencias y Tecnología es que al poder presentarse a las dos pruebas PAU, MAT II y MCS II, puede apurar hasta junio su elección en la matrícula PAU (ideal para los que comienzan el curso y no saben aún qué grado van a hacer).

    Y para el alumnado de Humanidades y Ciencias Sociales, especialmente para aquel que tiene problemas en matemáticas o que necesita sacar nota en la prueba PAU de MCS II viene la tercera utilidad; la asignatura le sirve de refuerzo, teniendo normalmente 2 profesores para ver lo mismo, lo que debe enriquecer la enseñanza. Si la optativa de Estadística, como tal, es fácil de aprobar, en vez de ver los contenidos del curso en 4 horas semanales (asignatura de MCS II), se ven en $4+2=6$ horas.

    Es por esto que recomiendo la optativa de Estadística para todo tipo de alumnado; para el de Ciencias y Tecnología que no tenga claro que estudiar (de esta forma en mayo podría matricularse de las matemáticas PAU que más le interesen), y para el alumnado de Ciencias Sociales al que las matemáticas le cuesten o que necesite nota en matemáticas.

    Además, en mi instituto es una optativa muy fácil de aprobar. En mi caso, la mitad de la nota, 5 puntos, se corresponden a pruebas escritas con sus correspondientes recuperaciones, y la otra mitad son sencillos cuestionarios Moodle que el alumno puede hacer las veces que quiera (el sistema se queda siempre con la mejor de las notas), por lo que un alumno puede tener aprobada la asignatura antes de hacer los exámenes, resultando una optativa fácil de aprobar y de sacar nota.

    Esta es la optativa de Estadística de mi instituto para segundo de bachillerato y porqué considero útil cursarla. A continuación doy su temario, incluyendo las fichas de ejercicios que utilizo en clase