Es habitual que algunos profesores de matemáticas, al explicar las asíntotas después del concepto de límite, afirmen que una función que no está definida a trozos no pueda tener asíntotas oblicuas y horizontales a la vez. ¿Cuál es la validez esta afirmación? Ninguna.
En efecto, es de perogrullo afirmar que si una función en un infinito posee asíntota horizontal en ese mismo infinito no puede tenerla oblicua, ya que si una cosa es blanca no puede ser negra a la vez. Ahora bien... ¿una función no definida a trozos puede por ejemplo tener una asíntota horizontal en menos infinito y una asíntota oblicua en más infinito? Esto es, ¿dos asíntotas distintas en dos infinitos distintos? La respuesta, en contra de lo que pueden sostener esos profesores de matemáticas es que sí. Le pongo no uno, sino 4 ejemplos.
Efectivamente, las funciones $\ln(1+e^x)$, $x+\sqrt{1+x^2}$, $\displaystyle\frac{x e^x}{e^x-1}$ y $x(\frac{\pi}{2}+\arctan x)$ poseen una asíntota horizontal en un infinito y una oblicua en el otro. Eso contesta a la pregunta de si una función puede tener dos asíntotas distintas en dos infinitos distintos.
Por cierto, son funciones que no son muy complejas, por lo que se las podría encontrar el estudiante de bachillerato en una PAU por ejemplo que pidiese calcular asíntotas.
Aunque las 4 funciones poseen la asíntota horizontal el $-\infty$, ello puede cambiarse cambiando la $x$ por $-x$, y por ejemplo $\ln(1+e^{-x})$ tiene la asíntota horizontal en $+\infty$ y la oblicua en $-\infty$.
Ya que estamos, ¿existen funciones con las tres asíntotas? Esto es, que también aparezcan asíntotas verticales. Pues la respuesta es sí, basta multiplicar cualquiera de las 4 funciones anteriores (en realidad hay infinitas funciones con ambas asíntotas, le propongo en los comentarios a esta entrada ir haciendo una lista) por una función algebraica que posea asíntota horizontal y vertical, por ejemplo, $\frac{x-1}{x}$
Para acabar esta cortita entrada, lo que sí es cierto (y seguramente a esto se refieren esos profesores de matemáticas de los que hablaba) es que en las funciones algebraicas, polinomio dividido por otro, sí es cierto que la misma asíntota se da en ambas ramas; esto es, si $\frac{P(x)}{Q(x)}$ posee una asíntota oblicua en $-\infty$, esa misma recta también es oblicua en $+\infty$, pero como vemos, no es cierto que una función no definida a trozos no pueda tener las dos asíntotas simultáneamente, es más, hemos visto que puede tener incluso de los tres tipos.
Una cosa más. Como esto de las asíntotas es un mundo, no solo hay funciones con asíntotas horizontales y oblicuas a la vez, sino que incluso hay funciones, no algebraicas, que poseen dos asíntotas horizontales distintas, como le pasa por ejemplo a las funciones $\frac{k}{1+e^{-x}}$, con $k\neq 0$, que poseen asíntotas horizontales en $y=0$ y en $y=k$, como le pasa a la siguiente:
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