matemáticas maths

matemáticas maths
Matemáticas de pizarra

sábado, 17 de diciembre de 2022

¿Asíntotas oblícuas y horizontales a la vez?

    Es habitual que algunos profesores de matemáticas, al explicar las asíntotas después del concepto de límite, afirmen que una función que no está definida a trozos no pueda tener asíntotas oblicuas y horizontales a la vez. ¿Cuál es la validez esta afirmación? Ninguna.

    En efecto, es de perogrullo afirmar que si una función en un infinito posee asíntota horizontal en ese mismo infinito no puede tenerla oblicua, ya que si una cosa es blanca no puede ser negra a la vez. Ahora bien... ¿una función no definida a trozos puede por ejemplo tener una asíntota horizontal en menos infinito y una asíntota oblicua en más infinito? Esto es, ¿dos asíntotas distintas en dos infinitos distintos? La respuesta, en contra de lo que pueden sostener esos profesores de matemáticas es que sí. Le pongo no uno, sino 4 ejemplos.

$x(\frac{\pi}{2}+\arctg(x))$


viernes, 25 de noviembre de 2022

Problemas de Selectividad de Andalucía


Ahora que se acercan las PAU, para siempre "Selectividad", en el siguiente enlace podemos encontrar dos archivos PDF. Uno con todos los problemas PAU de Andalucía de la asignatura MCSII (Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales de segundo de bachillerato) desde 1999, así como unos cuantos de Madrid  (más de 1200 ejercicios), así como TODOS los problemas de la opción de MAT II (Matemáticas II) de Andalucía desde 2001, unos 1000 ejercicios.

Lo interesante de estos archivos únicos es que los ejercicios vienen clasificados por bloques de contenidos, por lo que es fácil seleccionar problemas de matrices, de análisis... como repaso antes de la PAU de MCS II y MAT II, para que el profesorado ponga sus exámenes... Ideal para alumnado y profesorado.

Y la lista seguirá creciendo año a año...

Problemas de Selectividad de MCS II (1999-2023)

Problemas de Selectividad de MAT II (2001-2023)


sábado, 5 de noviembre de 2022

Quousque tandem abutere... (quejas de un docente orgulloso de serlo)

Quousque tandem abutere Catilina patientia nostra ?

    Soy de ciencias, pero estudié al abrigo de un gran sistema educativo y creo recordar que esa era una expresión que el incisivo Cicerón le dedicaba a todo un personaje prenda de la época llamado Catilina y que se podría traducir como "¿Hasta cuándo abusarás de nuestra paciencia, Catilina?"

    Son estos tiempos convulsos para la docencia. La Administración no deja de atosigarnos a los profesores para pedirnos la cuadratura del círculo, ahora lo explicaré, y con todos los magníficos compañeros con los que cambio impresiones la opinión es unánime... Estamos sencillamente hartos, no importamos lo más mínimo y nadie nos escucha.

    Pensé escribir estas palabras algún tipo de periódico digital, pero recordé que yo tenía una plataforma donde colgarlas, una plataforma humilde pero a fin de cuentas mía (bueno... y de Google... claro) donde poder escribir mis reflexiones, las de tantos profesores que ya estábamos hartos del planteamiento estatal en Educación y la LOMLOE y las exigencias de la Administración nos ha terminado de matar. Pido disculpas a los lectores usuales de mi blog, ya que esta entrada no va ir de fotografía, astronomía o matemáticas, sino de un docente orgulloso de serlo pero hastiado que va a desahogarse. Todas las opiniones vertidas aquí son mías y asumo mi responsabilidad por las mismas.

lunes, 29 de agosto de 2022

El seguimiento en astrofotografía II - seguimiento mediante PHD2 por ST4 y ASCOM - Solución mediante EQMOD de algunos problemas para Skywatcher AZ-EQ6

    (A continuación voy a describir cómo hacer seguimiento con PHD2 en una montura motorizada mediante ST4 y ASCOM y explicar la solución de algunos problemas que me encontré en mi montura AZ-EQ6 PRO. Esta entrada es la continuación lógica de esta otra destinada a la puesta en estación de una montura ecuatorial)

    Antes de empezar, esta entrada por supuesto la puede leer cualquiera, pero está más dirigida a aficionados avanzados que poseen una montura ecuatorial motorizada como mi AZ-EQ6 PRO, que saben conectar una cámara de fotos a un tubo, que hacen fotos de larga duración y que necesitan mejorar la precisión del guiado.

    En efecto, a pesar de que las monturas motorizadas una vez que están puestas en estación hacen un guiado muy preciso que permite hacer fotos de varios minutos en los que las estrellas aparentemente no se mueven, una montura no deja de ser una máquina que comete errores (PEC, Backslash...), y para ello nos planteamos mejorar el seguimiento mediante una cámara auxiliar y programas como PHD2

    Esta, me anticipo que va a ser otra entrada extensa porque hay que hablar del proceso de seguimiento, cámaras auxiliares, tipos de cables... También me anticipo que es una entrada apasionante porque le va a permitir dar un salto de calidad (como casi todo en este mundillo astronómico, comprando más cosas).

Dentro de las opciones que gestionan ASCOM, me centraré en el servidor EQMOD, si bien existen otras opciones como SYNSCAN APP o GS SERVER, de las que también hablaré.


viernes, 12 de agosto de 2022

2026-28 - El año y medio de los eclipses de sol desde España

(En esta entrada voy a comentar algo de los tres eclipses de sol que podremos ver desde España del 12 de agosto de 2026 al 26 de enero de 2028, y dar mapas interactivos para facilitar su observación)


12 de agosto de 2026, 2 de agosto de 2027 y 26 de enero de 2028... recuerde estas fechas.

    En realidad queda mucho tiempo, bueno... para el primero justo hoy quedan 4 años, perdone mi ansiedad... pero desde España y Andalucía vamos a ser muy afortunados en lo que los eclipses de sol se refiere. A lo largo de año y medio vamos a poder ver tres, y espectaculares los tres, dos totales y otro anular.

    No quiero enrollarme mucho en esta entrada, ya habrá tiempo de hacer otra más exhaustiva relacionada con los eclipses, su periodicidad... (en la misma partiré del texto que usé en una conferencia al aire libre que di en el Campus de Reina Mercedes de la Universidad de Sevilla el 9 de octubre de 1990 bajo el eclipse de luna que había esa noche). Ahora sólo quiero ir calentando el tema... cuatro años pasan muy rápido.

    En realidad, los eclipses solares son más frecuentes que los eclipses lunares. Es más fácil que la luna cruce por delante del sol a que la sombra de la Tierra oculte a la luna. Ahora bien, cuando hay un eclipse de luna todo un hemisferio ve a la luna, por lo que el eclipse es visible por mucha gente, mientras en un eclipse de sol sólo lo ve una privilegiada banda de la Tierra, y por ello pensamos que los solares son más escasos.

    Como digo, más adelante hablaré de los eclipses, los subtipos, los ciclos de saros y su periodicidad, los sitios X afortunados... Lo que quiero decir en esta entrada es que durante sólo un año y medio, si las circunstancias lo permiten, podremos ver tres eclipses solares desde España, que paso a describir.


12 de agosto de 2026, eclipse total

    Recuerdo la primera quincena de agosto de 1999. Me fui de viaje, solo, por Alemania, República Checa y Austria. El plato fuerte se produciría el 11 de agosto de ese mes. Iba a ver en Stuttgart mi primer eclipse solar total. Viaje memorable, pero el día D las circunstancias climatológicas no acompañaron (tenía que haberme ido a Rumanía, tenía su morbo un eclipse solar total en Transilvania y lo climatológico prometía más). En Alemania ese día el cielo estaba completamente cubierto y de hecho llovía de manera intermitente. Murphy 1 - Gonzalo 0. Pero a pesar de todo, recuerdo los dos minutos antes de la totalidad... el cielo entero empezó a apagarse como quien tiene un potenciómetro de la luz... fue sencillamente bestial como se hizo casi de noche en cuestión de segundos, cómo los pájaros se callaron.... Aunque no lo viera al 100%, lo viví y créame que es una experiencia bestial.

    Pues resulta que el 12 de agosto de 2026, al atardecer, podremos ver desde España un eclipse total de sol como el de 1999. La zona en la que se verá en su totalidad empezará en el norte de Siberia, continuará por el Polo Norte, Groenlandia, rozará Islandia y entrará por el Noroeste de la Península Ibérica, muriendo en el Mediterráneo tras pasar por las Baleares.


    Desde toda la España peninsular se podrá ver al menos como un eclipse parcial de un porcentaje muy alto, pero merece la pena hacer un esfuerzo e irse ese día a una zona de totalidad en la que la luna tapará completamente al sol dejando sólo visible su corona (es una maravilla que el sol sea 400 veces mayor que la Luna y que la luna esté exactamente 400 veces más cerca de la Tierra que el Sol, por lo que desde la Tierra ambos poseen el mismo tamaño aparente y normalmente encajan a la perfección). Esta circunstancia tamaño aparente sol-satélite no se da en ninguna otra parte del Sistema Solar.


     Puede encontrar un mapa interactivo del eclipse (usted pincha con el ratón en un punto y el mapa le dice si éste es total o no, cuándo empieza y acaba, qué altura posee el Sol sobre el horizonte...) en el siguiente enlace. Por cierto, si en Europa no cambiamos el procedimiento de los horarios de invierno y de verano, al tiempo en UT súmele dos horas... es un eclipse que sucederá por la tarde. 

    Como digo, desde cualquier parte de España será espectacular, pero si puede, acuda lo más cerca posible de la línea azul, aunque le digo que reserve alojamiento con tiempo... estos eventos traen a mucha gente.  A la hora de buscar sitio de observación, cuanto más se vaya usted al este el sol estará más bajo (en Baleares lo verán con el sol poniéndose), por lo que le convendrá elegir un sitio en el que el horizonte oeste esté lo más despejado posible, y si le es posible, cuanto más al oeste mejor, el sol estará más alto en el horizonte en la totalidad. Curiosamente (lo mismo va a pasar en el eclipse de 2028), la zona de totalidad no pasará por Madrid ni Barcelona, aunque cerca.

sábado, 30 de julio de 2022

Las perseidas y el resto de lluvias de estrellas fugaces (las olvidadas)

(En esta entrada, muy asequible para el aficionado simple, abordo el concepto de estrella fugaz y de lluvia de estrellas fugaces, en realidad lluvias de meteoros, cómo observarlas y una tabla con las fechas más importantes)   

    Me gustan las Perseidas. Me gusta todo lo que tiene que ver con la astronomía, pero es tan injusto que parezca que sólo hay una lluvia de estrellas fugaces, las Perseidas, cuando hay muchas más... y por cierto las Perseidas no son las más espectaculares. Supongo que a su popularidad ayuda que se producen en verano, a mediados de agosto cuando la gente está de vacaciones y en días en los que los medios de comunicación carecen de noticias. Pero por ejemplo las Delta Acuáridas tienen su máximo el 30 de julio, también en verano y parece que no existen, ni las Leónidas, Gemínidas, Cuadrántidas, Úrsidas, Taúridas... solo las Perseidas.  

    A hablar de las lluvias de estrellas fugaces, y sus fechas e intentar poner un poco de justicia se dedica esta entrada, que ya puestos a reivindicar, la publico en el máximo de las Delta Acuáridas. 

Una Perseida de 2021. Arriba a la derecha... Perseus, de donde parece salir

miércoles, 6 de julio de 2022

El seguimiento en astrofotografía I - Mi puesta en estación de una montura ecuatorial

 (A continuación voy a describir los principios básicos del seguimiento para una montura ecuatorial, incidiendo en el concepto de puesta en estación y dando consejos para optimizar la misma. En una segunda entrada hablaré del programa PHD2 y el auto-guiado mediante ST4 y ASCOM. Aunque en ambas entradas hablo de la montura AZ-EQ6 PRO, casi todo lo que se dice vale para cualquier montura ecuatorial).

    Hoy en día es factible comprar por no demasiado dinero monturas ecuatoriales motorizadas. Estas monturas tienen muchas ventajas, y son una pieza clave si de verdad quiere disfrutar del cielo nocturno con telescopio, ya que...

  • Una vez que están puestas en estación, esto es, una vez que están perfectamente ubicadas y conocen la hora local y a qué están apuntando, basta hacer un GOTO para dirigirse a cualquier objeto del catálogo Messier, NGC.... Usted le dice "vete a M31" y ella solita se mueve y se dirige a dicho punto del cielo.
  • No sólo eso. Una vez que encuentra dicho objeto seleccionado, la montura se mueve suavemente al mismo tiempo que el movimiento celeste y sigue a dicho objeto, esto es, el objeto no desaparece del ocular sino que sigue visible todo el tiempo, lo que permite una gran comodidad para hacer visual (mirar directamente por el ocular) o conectar una cámara al tubo para hacer fotos de un par de minutos.

    No es que es que estas monturas sean baratas, pero las hay bastante buenas que no llegan a los 1000 euros y que funcionan bastante bien. No le voy a recomendar ninguna, eso depende de su presupuesto y de qué tubo ha de cargar, pero le recomiendo que además de la conexión RJ45 para el SYNSCAN (y ASCOM) posea un puerto RJ12 para seguimiento por ST4 (todo esto lo explicaré en la segunda parte de la entrada), y en general cuanto más pesadas serán más estables. Mi AZ-EQ6 con la que estoy muy contento puede cargar unos 25 kg, claro, porque la parte principal ya pesa unos 15, lo que le da mucha estabilidad, eso sí, también cuesta cerca de 2000€.

    En esta entrada voy a explicar para qué se usan estas monturas ecuatoriales, así como los principios básicos y consejos para hacer una buena puesta en estación, igual puede usar alguno de mis trucos, y en la segunda parte de la entrada, a  cómo aumentar el tiempo en el que los objetos se pueden mantener sin moverse, o el proceso de guiado, así como a darle algunos consejos para solucionar problemas de guiado, al menos los que yo me he encontrado, pero eso será en la segunda parte.

1 - Las monturas ecuatoriales

1.1. Qué es una montura ecuatorial

    Como usted bien sabe, las estrellas del cielo norte parecen dar una vuelta alrededor de la estrella polar en dirección contraria a las agujas del reloj a lo largo de 24 horas. Algo similar sucede en el hemisferio sur, si bien no hay una estrella brillante respecto la cual el cielo parezca girar. Le muestro una foto que recoge el movimiento estelar a lo largo de 3 horas en la que efectivamente las estrellas parecen girar, de modo que a medida que nos alejamos del centro el giro es más pronunciado (a esto se le llamaba en física velocidad angular, $\omega$).

    Pero esto no es del todo así...  Ni la estrella polar es el centro de giro en el hemisferio norte celeste ni ese giro se produce en 24 horas... aunque casi. En realidad la estrella polar sólo está muy cerca del centro exacto de giro, y por otra el giro se produce en unas 23 horas y 56 minutos aproximadamente (a esto se le llama día sidéreo, más exactamente $23h\,56m\,4'0916s$). El que la estrella Polar esté tan cerca del auténtico polo norte celeste nos viene muy bien para conocer en qué dirección está el polo norte geográfico, los compañeros del sur no tienen una estrella que señale directamente el polo sur geográfico, sino que tienen que tirar de hacia dónde apuntan varias estrellas.

    Lo de esos 4 minutos de diferencia respecto las 24 horas también tiene su gracia. Esta noche el cielo nocturno a las 24:00h está de una forma, las estrellas se mueven alrededor del polo norte celeste, y mañana a las 23:56h las estrellas estarán en la misma posición que hoy a las 24.00h, por lo que mañana a las 24:00h, cuatro minutos más tarde del momento de repetición, las estrellas estarán como hoy a las 24:00h pero se habrán movido además 4 minutos. Esto es, de una noche a otra las estrellas van avanzando 4 minutos, y como $4\times 15=60$, las estrellas avanzan una hora cada quince días (véase la siguiente entrada). Ese es el motivo por el que constelaciones que comienzan a verse de madrugada acaben saliendo a medianoche o nada más anochecer, y de un día a otro las constelaciones se muevan lentamente hacia el oeste. Son sólo 4 minutos cada día, pero esos minutos son los responsables de que haya cielo de primavera, de verano, de otoño y de invierno, y que podamos ver todas las constelaciones asociadas a nuestra latitud. Si no fuera así, si el cielo diera una vuelta en justo $24\,h$, las estrellas siempre estarían en la misma posición, y sólo podríamos ver las que quedan encima del horizonte, esto es, la mitad del cielo. Todas las noches tendríamos el mismo cielo. Me encanta Orion, pero me costaría prescindir de Sagitarius o Scorpius... o viceversa. Son sólo 4 minutos, pero bien está lo que está.

lunes, 4 de julio de 2022

La paradoja de la "campana de Gabriel"

 (en esta entrada se describe la "paradoja", en realidad no lo es, del área y volumen encerrada por la función $\displaystyle\frac{1}{x}$ entre $1$ y $+\infty$ al girar alrededor del eje $OX$)

1. Presentación

    He leído varias veces que uno de los cuentos más notables de Hans Christian Andersen es el de la princesa y el guisante, y esta notoriedad se debe a su mensaje y a su brevedad. A diferencia de otras entradas del blog, ésta también va a ser breve, y por supuesto contundente.

    En realidad, el título de la entrada no es correcto... lo que voy a decir no es ninguna paradoja, sino un hecho,  pero la interpretación de la vida real que voy a hacer en el penúltimo párrafo es un resultado tan sorprendente que parece imposible. Dejémoslo en la "locura de la campana de Gabriel".

    Comencemos presentando a nuestra protagonista, la función $f(x)=\displaystyle\frac{1}{x}$, llamada "hipérbola equilátera". Es una función cónica que posee una asíntota vertical en $x=0$ (cuando $x$ se hace muy pequeña la función se hace muy grande), y asíntota horizontal cero en $+\infty$ (cuando la $x$ se hace muy grande, la función se hace muy pequeña). Para mis alumnos de bachillerato no tiene misterios.

    Tiro del programa geogebra y la represento gráficamente. Se observa que además es una función impar, $f(-x)=-f(x)$

    La idea ahora es la siguiente, me quedo con la parte que va de $1$ a $+\infty$ y la hago girar alrededor del eje $OX$, se forma un tipo de embudo muy alargado.


    En algún sitio leí que a esta figura la llamaban la campana o el cuerno de Gabriel (es coherente con estos tiempos revueltos tener algo del Apocalipsis y demás), otros que si se parece al giraldillo de Sevilla (no sé, para mí que lo que tenía el giraldillo en su brazo izquierdo era una gran pluma). También se la llama campana de Torricelli. El hecho es que tenemos una figura de revolución de tres dimensiones, y mediante el cálculo integral puedo calcular su área y su volumen.

2. Cálculo del área lateral

    El cálculo integral dice que el cálculo del área lateral que una función $f(x)$ genera al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b 2\pi f(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (me encanta que bloger admita $\LaTeX$ para poder escribir mates):

$\begin{eqnarray}A(x)&=&\int_1^{+\infty} 2\pi \frac{1}{x}\,dx=2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln x\right]_1^{+\infty}=\\&=&2\pi\left[{\strut}^{\strut}\ln(+\infty)-\ln(1)\right]=2\pi(+\infty-0)=2\pi(+\infty)=+\infty\end{eqnarray}$

    Es cierto que ese $\ln(+\infty)$ podríamos haberlo calculado como un límite y una integral impropia, pero el logaritmo en el infinito vale infinito, por lo que lo anterior es fácil de asumir.


3. Cálculo del volumen interno

    El cálculo integral dice que el cálculo del volumen que una función $f(x)$ encierra al girar alrededor del eje $X$ entre $a$ y $b$ es igual a:

$$A(x)=\int_a^b \pi f^2(x)\,dx$$

    Por ello, en nuestro caso (de nuevo cometo cierto abuso de notación no entrando en límites, pero todo es evidente) :

$\begin{eqnarray}V(x)&=&\int_1^{+\infty} \pi\left(\frac{1}{x}\right)^2\,dx=\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{x}\right]_1^{+\infty}=\\&=&-\pi\left[{\strut}^{\strut}\frac{1}{+\infty}-\frac{1}{1}\right]=-\pi(0-1)=-\pi(-1)=+\pi\end{eqnarray}$


4. Conclusión

    Como decía, esta entrada iba a ser breve y contundente Pues nada, el área lateral que encierra esta figura es infinita, mientras el volumen que encierra es finito. Cuando yo estaba en C.O.U. mi profesor me lo resumió con palabras parecidas a éstas.

    Imaginemos que esta figura geométrica es una habitación cuya pared es del grosor de una línea matemática, o sea, nada. Como el volumen es finito significa que podemos llenarla de pintura, con $\pi$ litros de pintura se llena. Ahora bien, como su superficie es infinita, no hay en el universo pintura suficiente para darle una capa por fuera a esta habitación. Por dentro se llena, por fuera no le damos una capa, y la diferencia es el grosor de una línea que vale cero.

Sorprendente ¿verdad? Y no es una paradoja, sino un hecho.... "la locura de la campana de Gabriel".



AMPLIACIÓN. 

Estaba hoy mismo reflexionando sobre la entrada ya publicada y me di cuenta de que los resultados de las integrales no son tan extraños (los de la conclusión siguen siendo una locura), ya que recordé del primer curso de carrera de Matemáticas en la universidad de Sevilla, que la llamada serie armónica tenía una suma divergente:

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\cdots=+\infty$$

Ello parece estar relacionado con que  $\displaystyle 2\pi\int_1^{+\infty}\frac{1}{x}\,dx=+\infty$

Sin embargo, la serie de los inversos de los cuadrados ya es convergente, y se cumple

$$\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+\frac{1}{6^2}+\frac{1}{7^2}+\frac{1}{8^2}+\cdots=\frac{\pi^2}{6}$$

Por lo que también parece más fácil de asumir que  $\displaystyle\pi^2\int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,dx=\pi$




lunes, 14 de marzo de 2022

Los problemas al enfocar reflectores; el intrafoco y el extrafoco

(Aquí hablaré de los problemas extremos al enfocar, el intra-foco y el extra-foco, pasando por los correctores de coma o las utilísimas máscaras de Bathinov)

Para empezar, aunque me centro en los telescopios reflectores, muchas de las cosas que voy a contar (excepto algunas imágenes como la siguiente) valen para todo tipo de tubos. Comencemos.

   La distancia focal de un telescopio es la distancia que recorre la luz a lo largo de su plano focal desde que empieza a pasar por espejos o lentes hasta hacer foco. En la imagen siguiente, en un telescopio reflector la distancia focal es la distancia marcada en línea discontinua verde, esto es, desde que la luz incide en el espejo primario (de ahí el nombre de primario, porque es el primer lugar donde incide), pasa por el secundario y hace foco.



    Los telescopios reflectores son unos tubos de focal intermedia, alrededor de $1000\; mm$. En los reflectores, a mayor focal, el foco se produce más lejos del espejo secundario, y a menor focal más cerca. Lo habitual es que el foco se produzca dentro del portaocular o carril de enfocado a no mucha distancia de la salida del mismo, ya que éste es el que ha de sujetar el ocular o el sensor de la cámara de fotos y dicha pieza debe de quedar sujeta, por lo que el punto de foco ha de quedar dentro de dicho portaocular o no podríamos sujetar el ocular... 
    El punto de foco siempre se produce (que puede ser mejor o peor según el colimado del sistema), y en el portaocular tendremos una rueda que tiene por misión mover el mismo y todo lo que esté sujeto por éste más lejos o cerca del espejo primario, para que el ocular o el sensor de la cámara de fotos coincidan con el punto de foco y todo vaya bien.
    En la siguiente imagen muestro dicho sistema; por ejemplo una cámara de fotos con un sensor fotográfico donde ha de producirse el enfoque se fija a dicho carril de enfocado mediante un par de tornillos. Al moverse dicho carril lo que se busca es que el sensor de la cámara coincida con el foco del telescopio, esa es la posición óptima para fotografiar. Es importante decir que el carril de enfocado no tiene un recorrido infinito; tal como se sugiere en la imagen siguiente se mueve entre dos posiciones extremas, una posición más cercana y otra más lejana al espejo secundario.


       Pues bien, normalmente con el recorrido del portaocular debería vale valer para poder enfocar adecuadamente, pero según las condiciones, podríamos encontrarnos con dos problemas extremos que no se deben a que no sepamos hacerlo, sino a que el tren óptico no nos deje; los problema de INTRA-FOCO y del EXTRA-FOCO.